Sucesiones cansadas hasta el límite

Sin duda todos nosotros (sobre todo aquellos que ya hemos pasado de los cuarenta) hemos estudiado en la enseñanza secundaria la definición de límite de una sucesión. Primero nos definieron la sucesión como una fila infinita de números separados por “comas”, que generalmente se denotaban como x₁,x₂,…,x_n,…, uno  tras otro sin que hubiese uno que fuese el último, ya que esa fila continuaba sin terminar jamás. Esto ya tenía cierta complicación para nuestra mente, nada acostumbrada al concepto poco real de infinitud. Pero cuando nos escribían en la pizarra - que por cierto es un objeto en periodo de extinción. No olvidemos que “pizarra” es un tipo de roca con el que se fabricaban las del colegio. Ahora aunque se siguen llamando igual, casi ninguna está fabricada con dicho material. Que contrasentido ¿verdad? Ahora muchas son de un material plástico donde se puede escribir con unos rotuladores que al poco de utilizarlos se les acaba la tinta y a duras penas puede verse lo que se escribe. Otras veces resulta casi imposible borrar lo anteriormente escrito. Incluso recientemente se ha comenzado a hablar de la “pizarra electrónica”- Pero bueno, este es otro tema distinto al que estamos tratando en esta entrada. Decía que si ya nos resultaba complicado el concepto de infinitud, cuando nos ponían en la pizarra la definición de límite de una sucesión prácticamente nadie trataba de comprender aquel trabalenguas. Lo que tocaba era aprenderlo de memoria y recitarlo como quien recita un poema en cualquier lengua muerta de la que nunca hubiese oído hablar. De hecho, yo no entendí perfectamente el concepto de límite hasta que llegué a la Universidad. Sin embargo, creo que huyendo de definiciones escabrosas, me atrevo a intentar hacerles un boceto de la idea que está detrás de dicho concepto.

  Supongamos que estamos en una carretera en pleno desierto. Una carretera de esas que son completamente rectas y que se pierden en el horizonte. Si miramos hacia un lado y hacia otro tan sólo vemos carretera. Hace mucho sol (esto es irrelevante, pero ayuda a entrar en situación). Nosotros estamos encima justo de una marca que pone el número 0. Delante nuestro, a cierta distancia está otra con el número 1, luego otra con el 2, alcanzamos a ver una más con el 3 y a duras penas, a lo lejos vemos una nueva marca con ¿un 4 quizá? Detrás nuestro  más de lo mismo, pero en este caso los números vienen precedidos por una pequeña rayita (un signo menos). Señores, ¡¡ bienvenidos a la recta real !!. Vamos a dar un paso hacia adelante. Será un paso que llegará hasta la marca con el número 1. Un paso de longitud uno. Pero nos hemos cansado un poco y el siguiente paso tendrá una amplitud más pequeña. Digamos que será la mitad del primero. Es decir será de longitud 0.5, o como nos gusta a los matemáticos, 1/2. Nos seguimos cansando y el siguiente paso volverá a tener por longitud la mitad del anterior. Será de longitud 1/4. Así sucesivamente, nos vamos cansando a cada paso y sólo podemos recorrer una distancia que es la mitad de la recorrida en el paso anterior. Pero nunca nos pararemos. No podremos decir en ningún momento que hayamos recorrido con un paso una longitud igual a cero, ya que si en un paso hemos recorrido algo, por pequeño que sea, en el siguiente habremos recorrido la mitad. Y la mitad de “algo” no es cero a menos que ese “algo” ya fuese igual a cero. Sin embargo todos entendemos que en nuestro cansancio los pasos se van haciendo más y más pequeños. Llegarán a ser tan pequeños como se quiera, tan sólo hay que seguir andando. Estamos ante una sucesión donde los x₁,x₂,…,x_n son los tamaños de los pasos. Y esta sucesión tiene límite igual a cero. Además podemos decir que estamos ante una “sucesión cansada” ya que si marcamos con una brocha el lugar donde ponemos el pie en cada uno de los pasos, veremos que las marcas cada vez están más juntas a medida que andamos. Y seguirán estando tan juntas como se quiera. Llegaremos a tener que tirar la brocha y poner la marca con un bolígrafo para que no se confunda con la anterior. Incluso en cierto momento tendremos que utilizar un alfiler manchado en tinta. Algo más tarde ni con un láser evitaremos que las marcas se confundan. Pero entre cada par de marcas habrá siempre algo de distancia. 

  Y no crean ustedes que esto sólo pasa cuando cada paso es menor que el anterior. Volvamos al principio, a la marca con el número cero. Ahora daremos la primera zancada de longitud 1/2.  La segunda será un poco más grande: tendrá longitud 1/2+1/4. La tercera algo mayor: 1/2+1/4+1/8. En la cuarta recorreremos 1/2+1/4+1/8+1/16.  ¿Se dan cuenta de cómo son las cosas en este segundo paseo? Cada paso es un poco mayor que el anterior, pero esta diferencia entre dos pasos consecutivos cada vez se hace más y más pequeña. En cada paso nos superamos, pero ese vigor de superación va disminuyendo. Estamos de nuevo ante una “sucesión cansada”. No olviden que nuestra sucesión es el tamaño de los pasos.

  Hemos dado pues dos paseos mediante sucesiones cansadas. En el primero está muy claro que el límite de la longitud de los pasos es cero, pero ¿cuál es el límite de dicha longitud en el segundo de los paseos? El hecho de que cada paso es mayor que el anterior puede confundirles y hacerles pensar que al cabo de un tiempo estaremos dando pasos gigantescos. Pues créanme que no es así y que la realidad es que en el segundo paseo nunca llegaremos a dar una zancada de longitud 1, a pesar de que nos aproximaremos a esa cifra hasta límites insospechados. Sólo hay que hacer algunas cuentas fáciles. Recuerden que el primer paso tenía longitud 1/2. Haciendo la suma correspondiente al segundo paso, éste tiene longitud 3/4. El tercero será de longitud 7/8 y el siguiente de longitud 15/16. Así sucesivamente la longitud de cada paso será cada vez más grande pero nunca será de longitud 1, ya que en las fracciones que se van construyendo el número de arriba siempre será una unidad inferior al número de abajo. El límite de esta sucesión es 1, como ya habrán deducido ustedes mismos. 

  Si han leído hasta aquí sin desfallecer ante tanto “cansancio”, permítanme que finalice esta entrada del blog con un teorema de los importantes dentro de las matemáticas:

Teorema

En la carretera que hemos denominado “recta real”, toda sucesión cansada posee límite y recíprocamente, toda sucesión que posee límite es una sucesión cansada.

¿No les resulta evidente?  Por cierto, las sucesiones cansadas se las habrán presentado en su adolescencia como “sucesiones de Cauchy”.

Teatralidad Docente

La representación teatral ha sido siempre una de mis grandes aficiones. Ya de niño sentía una gran pasión por representar e imaginar situaciones, supongo que como todos los niños.  Sin embargo en mi caso esta faceta no desapareció al ir cumpliendo años y aún hoy, habiendo dejado hace mucho tiempo la pubertad, me sorprendo a menudo haciendo gestos ante un espejo tratando de reflejar situaciones de alegría, miedo, enfado o tristeza. Creo que una de mis aficiones un tanto frustradas fue el arte dramático.

Recientemente me he inscrito en un taller de teatro que ofrece el ayuntamiento de Oviedo. Esto me permite dar rienda suelta a mi imaginación, junto con otras personas que comparten conmigo esta pasión. Para mí esas dos  horas semanales son como una desconexión total del mundo. Es como una burbuja que puntualmente aparece a mi alrededor todos los Jueves y que supone una descarga de presión y posterior recarga con renovada energía. Seguramente en todo esto resulta crucial la maestría con la que dirige esas sesiones Valentín, el incansable y paciente director del taller. Pero la razón de este post no es precisamente hablar de este taller, sino de la gran analogía que comparten El Teatro y La Docencia, del tipo que sea.

La actividad docente universitaria en una asignatura de las que imparto, yo la veo en cierto modo y salvando las distancias, como una especie de ciclo de representaciones teatrales de un determinado tema. Cada una de las clases es como una pequeña función de aproximadamente una hora de duración. Es como una obra interactiva en la que el actor principal y conductor de la misma, que se constituye en el profesor, debe fomentar la participación del público. La obra no puede ser monocorde, sino que tiene que tener cambios de ritmo que capten la atención del público. Se ha de intercalar el monólogo con la incentivación del público, que ha de sentirse partícipe de la “representación teatral”. El profesor tiene que tener muy bien aprendida la partitura y debe poseer las herramientas necesarias para volver a ella ante la actividad del público, para no dar la sensación de estar en una improvisación total. Y fundamentalmente, el actor, que conoce el final de la obra así como el camino hacia el mismo, no debe demostrar al público dicho conocimiento postrero y ha de entusiasmarse ante los resultados obtenidos como si fuese la primera vez que los ve. Los grandes actores deben actuar en cada uno de los pases de la obra de una manera casi idéntica, siempre con cierta flexibilidad para salir de situaciones imprevistas, a pesar de que ya la hayan representado más de un centenar de veces. Nótese que el público cambia cada día y los conocimientos iniciales del mismo son siempre parecidos. Un volumen de voz suficientemente alto, los cambios de ritmo y las estrategias para resaltar las situaciones con mayor vehemencia que en la vida real son la base para que el mensaje llegue al destinatario. Es muy posible que el argumento de la obra no sea inicialmente interesante para la audiencia, pero creo que con una buena puesta en escena puede que se genere cierto interés, a priori ausente. Sin embargo con una representación tipo monólogo, uniforme y con una tonalidad somnífera, se conseguirá que el público del teatro sea más escaso en cada una de las funciones.

Hace algo más de dos años y en Lleida, durante el transcurso del Congreso Internacional de Docencia Universitaria (CIDUI 2008), asistí a una conferencia que impartió el profesor Claudi Alsina, matemático y Catedrático de la Universidad Politécnica de Cataluña. Aunque parezca increíble, teniendo en cuenta la gran cantidad de información que se puede encontrar en internet sobre el profesor Alsina, yo nunca había oído hablar de él. Para mí esa conferencia fue sin duda una de las más interesantes a las que he asistido. El tema era la docencia en el proceso de Bolonia (tema muy actual en nuestros días) y planteaba una visión un tanto futurista de los resultados de su implantación. Fue una “representación teatral” verdaderamente magistral. El profesor Alsina posee, a mi juicio, todas las virtudes teatrales de un excelente docente y si existiesen los premios “Max” de la docencia, sin lugar a dudas la estatuilla que simbolizase el galardón, debería tener el "rechoncho" perfil del profesor Alsina.

Topología asesina

En mis tiempos de estudiante en la Universidad de Cantabria, una pintada en la fachada principal de la vieja Escuela de Caminos rezaba: "Topología Asesina". Aunque yo estudiaba en la Facultad de Ciencias, no me resultaba desapercibida dicha pintada cada vez que pasaba por delante de ella. Su  mensaje me acompañó durante toda la carrera y a medida que me iba adentrando en los conceptos propios de la Topología, me daba cuenta de la tremenda desesperación que debió de sentir el autor de semejante expresión mural. Y es que la Topología es una de las materias más áridas y de conceptos más complejos y abstractos de la Matemática. La Topología no te deja indiferente: o la amas o te desquicia. Afortunadamente a mi me entusiasmó, pero eso no significa que no comprendiese el sufrimiento de aquellos a los que les supuso una auténtica maldición. Pero ¿Qué es la Topología? Trataré de explicarlo de  la manera más informal y atractiva posible.

  La Topología es una rama de las Matemáticas que de alguna forma estudia los objetos cuyas propiedades permanecen inalteradas mediante transformaciones continuas (ya me he pasado un poco ¿verdad?). Imaginen ustedes un objeto cotidiano: por ejemplo un plato. Pero imagínenselo de chicle, o mejor todavía, de masa de pizza. Además supongan que esa masa se puede estirar hasta límites insospechados. Ahora comiencen a deformarla cuanto quieran, estirando encogiendo y retorciendo; pero está prohibido romperla, agujerearla o pegar lo que estaba separado. De esta forma a partir de ese plato "chicloso" ustedes podrán hacer otro mucho más grande. Pero también podrían moldear un sombrero de vaquero, uno de copa ó incluso un gorro nazareno. Igualmente estaría permitido construir una moneda con sus correspondientes relieves e incluso la silueta de cualquier automóvil, como si estuviese tapado con esa masa a modo de funda. Todos esos objetos son "topológicamente equivalentes". Sin embargo, no estaría permitido hacer un anillo ni un collar, pues para eso habría que agujerear el plato. A modo de broma se dice que un Topólogo es incapaz de distinguir una taza de una rosquilla. La razón es que tanto la taza como la rosquilla tienen un agujero (en el caso de la taza corresponde al asa). En consecuencia partiendo de la taza y agrandando el asa se puede llegar a obtener la rosquilla. ¿les empieza esto a parecer cosa de locos?. Pues déjenme que les diga que a la mayoría de ustedes les habrá sido de utilidad la topología sin ni siquiera saberlo. No me digan que nunca han consultado un mapa de metro o de una red de autobuses. Convendrán conmigo en que en dichos mapas no se refleja  la forma exacta del camino que siguen las líneas. Tampoco sus longitudes siguen una misma escala, ni las distancias entre las diferentes estaciones son fieles a la realidad. En definitva, dichos planos no son geométricamente exactos. Sin embargo son de gran utilidad, ya que proporcionan la "información topológica" necesaria para poder movernos por la ciudad y llegar a nuestro destino sin perdernos. A partir de ellos podríamos construir, deformándolos topológicamente, las lineas de metro a tamaño real, con sus correspondientes estaciones marcadas. Lo mismo ocurre cuando vemos cualquier mapa de nuestro sistema solar, con el sol y todos los planetas. Si dichos mapas estuviesen hechos a escala seguramente la tierra debería ser representada como la cabeza de un alfiler mientras que el sol sería como una pelota de tenis. Además, en cuanto a las distancias, si en el mapa la tierra y la luna estuviesen separadas por un par de centímetros, la separación entra la tierra y el sol debería ser de unos 7 metros y medio. Como se puede observar, también en este caso resulta de mayor utilidad la información topológica de nuestro sistema solar, ignorando escalas. 

  Espero que estas argumentaciones sirvan para que ustedes, señores del jurado, otorguen el veredicto de inocente de asesinato, a mi defendida Topología.

Existes y Para todos

Dos de las cosas que más atemorizan a mis alumnos de Informática son los símbolos matemáticos de “existencia” y el famoso “para todo”, que se representan respectivamente mediante esos caracteres tan raros  que son una E mirando hacia el otro lado y una A patas arriba (∃, ∀).  A esos símbolos se les denomina “cuantificadores”, siendo el primero de ellos el cuantificador existencial y el segundo el cuantificador universal.  La razón de esa denominación es bastante clara. Ambos conceptos cuantifican el número de elementos de un conjunto que cumplen una determinada propiedad: “Al menos uno”, en el caso del cuantificador existencial y “todos ellos”, en el caso del cuantificador universal. Pongamos un ejemplo con una situación cotidiana: Supongamos que estamos en una sala de cine. Si no está llena y consideramos el conjunto de todas las butacas de la sala, podremos decir que “existe alguna butaca que está vacía”. Sin embargo si el cine estuviese lleno diríamos que “para toda butaca, ésta está ocupada.” Ahora bien, en cuanto se vacíe el cine podremos decir sin mentir: “para toda butaca, ésta está vacía”; y también será cierto que: “existe alguna butaca que está vacía”. Curioso ¿verdad? Si se reflexiona un poco sobre ello, se observará que tiene su “lógica”. Cuando el cine tiene butacas (como es de suponer) y se dice que existe una butaca que está vacía no significa necesariamente que sea la única, sino que al menos hay una butaca sin ocupar. Es decir, podría ocurrir que hubiese más de una, o incluso todas, y la afirmación seguiría siendo correcta. Sin embargo si se asegura que para toda butaca, ésta se encuentra vacía, eso es algo más estricto, pues la única situación que hace cierta la afirmación es que el cine esté completamente vacío.

  Por lo tanto, cuando el conjunto no es vacío (algún día hablaré sobre este curioso concepto), el cumplimiento de una propiedad por todos los elementos del mismo (cuantificación universal) también hace cierto el cumplimiento de dicha propiedad por algún elemento del conjunto (cuantificación existencial), mientras que no sucede lo mismo al contrario. La existencia de un elemento que cumpla la propiedad no significa necesariamente que todos los elementos del conjunto la cumplan, aunque tampoco lo impide. Pues bien éstas son algunas de las peculiaridades de nuestros dos “amigos cuantificadores”.

  Como decía al principio de esta entrada, si los “existes” y “para todos” producen temor vistos por separado, la situación se torna extrema cuando ambos cuantificadores aparecen juntos. Además, en ese caso el orden de aparición es muy importante  para determinar el significado de la afirmación. No es lo mismo: "∀ X ∃ Y “ que “∃ Y ∀" X”. En el primer caso Y tiene una dependencia de X, es decir que cada valor de la X posee un valor para la Y, pudiendo ocurrir que diferentes valores para la X tengan asociados diferentes valores para la Y. Sin embargo en el segundo caso el valor de la Y es el mismo para todos los valores de la X. Estos diferentes significados dependiendo del orden de declaración de los cuantificadores también se dan en situaciones cotidianas. Veamos algunos ejemplos:

1.   No es lo mismo: “Para todos los coches existe un conductor” que “Existe un conductor para todos los coches "
2. No es lo mismo: “Para todos los hijos existe un padre” que “Existe un padre para todos los hijos”

Y como les dice a sus alumnos de Álgebra una colega profesora:

     No es lo mismo: "Para todos vosotros existe un aprobado" que " Existe un aprobado para todos vosotros"

Publicidad delictiva

Aún tengo muy vivo el recuerdo de un anuncio publicitario de los tiempos de mi infancia, allá por los años 70. Seguramente alguno de ustedes recordará el anuncio del bolígrafo Bic, con su célebre canción de “Bic naranja, Bic cristal; dos escrituras a elegir…..” Para mí era un anuncio verdaderamente magistral. No se podía decir más de un bolígrafo en tan sólo un minuto. Una prueba tangible de que sin duda era una estupenda idea publicitaria fue la cantidad de tiempo que estuvo presente en las televisiones españolas. No diré que hoy en día la publicidad es mucho peor, pues no quiero caer en el tópico presente en las personas de generaciones anteriores que añorando tiempos pasados argumentan que en nuestros días muchas cosas van a peor. Está claro que hoy en día, con los medios de los que se dispone, la publicidad es de mucha mayor calidad visual. Otra cosa son las ideas, que pueden ser igual de buenas o igual de malas que hace 30 ó 40 años. Sin duda una gran idea con los medios actuales quedará amplificada; pero es posible que también suceda lo mismo con una idea mediocre.

  Precisamente debido al avance en los medios audiovisuales, que trajo como consecuencia anuncios de juguetes en los que éstos se movían solos como si tuviesen vida propia, se reguló la emisión de este tipo de publicidad de manera que se pusiese alguna especie de aviso en el anuncio que impidiese a los infantes hacerse una idea equivocada de lo que estaban viendo. Bueno, teniendo en cuenta que muchos niños de la audiencia no sabrían leer, el aviso era más bien para los padres. La cuestión es que la gente no adquiriese expectativas equivocadas en cuanto al funcionamiento del producto, debido al despliegue de medios mostrados en la emisión publicitaria.

  Sin embargo en nuestros días el hecho de que publicitariamente un juguete parezca tener vida propia; o bien que en el anuncio de un limpiador aparezcan cocinas con una cantidad de suciedad como nunca se ha visto, con el agravante de que nos hacen ver que dicha cocina acaba de ser limpiada con otro limpiador distinto al de la marca anunciante; o incluso el que nos presenten detergentes en los que la ropa ya sale planchada de la lavadora, no tienen la menor importancia y resultan anécdotas en comparación con otra práctica publicitaria que a mi juicio no sólo resulta engañosa sino que entra en lo delictivo. Si no me creen, reflexionen sobre los ejemplos que les pongo a continuación, los cuales aparecen cada día en nuestras televisiones y carteles publicitarios. Después juzguen ustedes mismos:

1. El precio de un viaje en avión es de 50 euros por persona, pero al ir a pagar se dan cuenta de que en el anuncio publicitario no se incluyen gastos de aumento del precio de combustible del avión, gasto por gestión de billete, tarifa por maleta facturada, seguro obligatorio para el pasajero y demás cuestiones que aumentan en más de un 200% el precio inicial.
2. Deciden comprar un automóvil porque  lo pueden financiar fácilmente a 5 años con cuotas de 200 euros. Lo que averiguan posteriormente es que tendrán que satisfacer 15 cuotas por año, cuando ustedes pensaban que serían 12 (una por mes). Además, después de los 5 años de cuotas tendrán que pagar una cantidad final de 12000 euros.
3. Observan que pueden viajar a Nueva York (ida y vuelta) “desde 300 euros”. Al ir a sacar el billete les dicen que para obtener esa oferta tienen que sacar el billete con 5 meses de antelación, pasar al menos dos fines de semana en Nueva York y sólo es válido para estancias durante el mes de Febrero.
4. Un hotel de gran lujo les ofrece habitaciones dobles al increíble precio de 50 euros la noche. Cuando se deciden a aprovechar la oferta descubren que ésta no incluye fines de semana ni festivos o vísperas de festivos. Además, están obligados a hacer un gasto en el hotel de al menos otros 50 euros por persona y día de estancia.
5. Una compañía de seguros les ofrece increíbles coberturas. Lo que les ha hecho decantarse por ella para asegurar su automóvil es que tiene gratis la asistencia en carretera y sobre todo que les proporcionarán un coche de substitución si la avería necesita más de 24 horas para su reparación. Al querer hacer uso del seguro en un percance se percatan de que la asistencia en carretera es a partir del km 100 a contabilizar desde su lugar de empadronamiento, con lo que no incluye los trayectos cotidianos que usted hace. Además, respecto a la posibilidad de obtener un coche de substitución, las 24 horas están referidas a “horas de mano de obra de taller”.  Por supuesto no cuenta el tiempo que el coche está en espera de ser reparado. Además prácticamente ninguna avería requiere tal cantidad de tiempo neto de mano de obra.

  Obviamente, toda esta información estaba disponible escondida y a letra pequeña en el anuncio publicitario o bien había pasado a velocidad vertiginosa por la parte inferior de su televisión. Parece que con estas maniobras ya se sitúan dentro de la legalidad, aunque usted necesite mucho tiempo y un microscopio para leer las condiciones o tenga que grabar el anuncio y estudiarlo fotograma a fotograma para poder leer el pie de imagen. Cualquier día nos presentarán un producto prácticamente gratuito y con unas propiedades maravillosas. O bien un viaje alrededor del mundo, alojándonos en los mejores hoteles por un precio irrisorio. Incluso nos podrán ofrecer un estupendo coche a un precio de 3000 euros a pagar en cómodos plazos con el seguro, la gasolina y el mantenimiento gratuitos de por vida. Bastará con que en todos los casos, pongan un asterisco y un pie de anuncio que diga: “Todo lo que se ha dicho publicitariamente respecto a este asunto es completamente falso.”

Notación matemática: ¿Enmascara lo fácil o clarifica lo difícil?

Frecuentemente, al enunciar o presentar alguna propiedad en términos de notación matemática, mis alumnos ponen cara de no entender lo que quiero decirles. Cuando, tras no pocos esfuerzos, logro hacer que lo entiendan, en alguna ocasión me han comentado que la clave de su falta de entendimiento es la propia notación científica.

   Recientemente, uno de los trabajos de investigación de los que soy coautor fue criticado por un revisor, que debía decidir sobre lo apropiado del trabajo para su presentación en un congreso, argumentando que mediante la notación matemática empleada estábamos enmascarando conceptos y propiedades sencillas. Esta situación me preocupó mucho, ya que el hecho de que un colega, que se supone preparado para entender la notación científica, argumente cosas de ese estilo denotando su falta de dominio de la misma, es mucho más grave. Tras reflexionar sobre este par de sucesos he llegado a la conclusión de que en muchas ocasiones no se le da a la notación matemática la importancia que ésta merece. Cuando se expresa algo en lenguaje o notación matemática, el objetivo es que todas las personas que lean esas expresiones se formen exáctamente la misma idea; que dicha idea no posea ningún punto de ambigüedad y que coincida con la que se pretendío expresar por parte del autor. Está claro que con el lenguaje natural mediante el que nos expresamos cotidianamente no se puede conseguir ese objetivo sin construir grandes  y a veces tediosos párrafos explicativos. La notación matemática es exacta, expresa cosas de manera concisa  y es absolutamente universal. Sin embargo, cuando no se domina resulta casi ininteligible, como le pasa a cualquiera de los lenguajes: Si yo no se japonés, da igual que me expliquen en japonés la cosa más sencilla, que no la voy a entender. Esa falta de dominio es la causante de que cuando se expresa mediante notación matemática alguna idea ya conocida por la audiencia, pueda parecerle a alguno que se están explicando cosas sencillas mediante un lenguaje enrevesado. Nada más lejos de la realidad, ya que la notación matemática siempre resulta clarificadora. Déjenme que intente demostrárselo.

  Tomemos como ejemplo una propiedad que todos conocen, relacionada con elevar un número al cuadrado, es decir, multiplicarlo por sí mismo. Imaginen que les digo que si elevamos al cuadrado el número 2 el resultado es 4 (que es un número positivo). Si elevamos al cuadrado el 3, el resultado es 9 (también positivo). De hecho si elevamos al cuadrado cualquier número mayor que cero el resultado siempre es un número positivo. Además dicho cuadrado siempre existe. Así pues podemos decir que todo número mayor que cero posee la propiedad de que al elevarlo al cuadrado el resultado es un número positivo. ¿y qué  pasa con los números negativos? Pues lo que pasa es que la operación de elevarlos al cuadrado tambíen da como resultado un número positivo. Y además, de propina podemos decir que ese número positivo, resultado de elevar al cuadrado un número negativo, es el mismo número que nos salía al elevar al cuadrado el correspondiente número positivo. Llegados a este punto seguramente es conveniente poner un ejemplo clarificador: Lo que se quiere decir es que si elevamos al cuadrado por ejemplo el 4, el resultado es 16. Y al elevar al cuadrado el -4, el resultado es también 16. Si han conseguido leer hasta aquí sin perderse, seguramente habrán logrado entender lo que se ha querido expresar. Es posible que el hecho de que esta propiedad ya la conociesen les haya supuesto una gran ventaja a la hora de entenderla. Pero ¿se imaginan a alguien que no conozca la mencionada propiedad leyendo este párrafo?. ¿Ustedes creen que entendería lo que se ha querido expresar sin ningún género ni atisbo de duda?. Es posible que sí. En cualquier caso si se domina la notación matemática esta propiedad puede expresarse de manera maravillosamente escueta e inequívoca de la siguiente forma:

Para todo X>0   Existe  Y>0  tal que X²=(-X)²=Y

Ahora quédense con la que les parezca más sencilla. Para mí la elección no ofrece dudas.

Axiomas, Teoremas y juegos de Lego

Al poco de comenzar mis estudios de la licenciatura de Matemáticas y en una de las  habituales tertulias de café en una habitación del Colegio Mayor, un amigo que estudiaba Ingeniería de Caminos me preguntó cuál era la labor fundamental de un matemático. Yo le contesté que los matemáticos demostraban Teoremas. Y mientras le respondía, soñaba con demostrar mi propio Teorema. En aquella época yo pensaba que todo Teorema, una vez demostrado, supondría un avance crucial para la humanidad. Estaba convencido de que  todos los Teoremas estaban en algún lugar, esperando que alguien los demostrase y en ese momento un estruendo de conocimiento viajaría a gran velocidad por todo el planeta. Yo, en mi inocencia, pensaba sólo en los Teoremas con mayúscula. Años más tarde, bastante antes de demostrar mi primer teorema, comprendí que la mayor parte de ellos tienen una utilidad muy local y un ámbito muy pequeño que generalmente no trasciende más allá del grupo de matemáticos que estén investigando en el tema en cuestión. Sólo algunas veces se enuncian y demuestran Teoremas de auténtico renombre y que son verdaderos iconos en una determinada Teoría. Además, la mayor parte de las veces los teoremas son demostrados por los mismos investigadores que los enuncian. Incluso es muy posible que la demostración preceda al enunciado. La razón es que los teoremas no son más que pequeñas figuras construidas dentro de una Teoría o un tema central de investigación científica y su demostración significa un paso más hacia un objetivo más ambicioso o una consecuencia un tanto marginal dentro de dicha teoría. ¡Enunciar y demostrar teoremas es como el juego del Lego!. Voy a explicárselo:

  Cuando se compra un juego de Lego, en la caja lo que se encuentran son una serie de piezas de distintas formas y tamaños. Estas piezas son indivisibles y están ahí porque sí. Bueno, digamos que nos son dadas. Además, en algunos casos también hay algunas pequeñas herramientas que no son piezas pero que ayudan a combinar esas piezas básicas. Piensen en una pequeña llave para tuercas o un pequeño destornillador. Pues bien, en matemáticas esas piezas básicas constituyen los axiomas. No hay que demostrarlos, están ahí por definición. Vienen en el lote al comprar el juego. Posteriormente, a partir de esas piezas se van construyendo piezas más grandes, habitualmente con la ayuda de las herramientas para tal efecto. De nuevo combinando estas piezas más grandes construidas a partir de las piezas básicas, se van dando forma a figuras que tienen una entidad propia. Estas figuras son los teoremas. Podríamos decir que la propia forma de la figura constituye el enunciado y la labor de construcción de la misma, paso a paso, usando los axiomas, combinándolos adecuadamente y de acuerdo a las reglas de combinación determinadas por las herramientas, son la verdadera demostración del teorema. Posteriormente estas figuras, en el mejor de los casos y siempre que sean atractivas, podrían integrarse y ser de utilidad dentro una entidad más grande constituida por multitud de figuras. Estas entidades son las teorías. Imaginen ustedes que tienen ante sí un conjunto de axiomas del juego de Lego, que proceden a combinar adecuadamente para construir un pequeño edificio con forma de gasolinera. Acaban ustedes de enunciar y demostrar un auténtico teorema, que integrado en la teoría "Ciudad" tiene una importante función en el sostenimiento de la misma. Otros avanzados jugadores conseguirán demostrar teoremas de gran importancia para la teoría "Ciudad". Por ejemplo el teorema "Ayuntamiento" o teoremas "Hoteles" o incluso teoremas tipo "Autobuses". Algunos teoremas no tedrán gran trascendencia o aplicabilidad dentro de la teoría. Constituirán simples casas de vivienda que posiblemente sean relleno, pero que juntas darán forma a la Ciudad. Y ésta irá creciendo sin parar con teoremas de nueva creación y nuevas funcionalidades. Y así, los matemáticos vamos contribuyendo en mayor o menor medida al desarrollo de diferentes teorías, de la misma forma que los niños mediante el juego de Lego o uno de los antiguos mecanos construyen figuras, a veces que sólo ellos entienden, y las incorporan a sus juegos e historias fruto de su imaginación. Bajo esta perspectiva ¿Quién dice que las matemáticas no son divertidas?

  

  

Invasión algorítmica

Seguramente el título de esta entrada del blog les hará pensar a muchos de ustedes que la supuesta invasión de algoritmos viene propiciada por la etapa histórica que estamos viviendo. Una etapa que podríamos denominar "era de la comunicación". Una época en la que las máquinas y más concretamente los ordenadores tienen un gran protagonismo. Para algunos de ustedes ese protagonismo quizá les parece excesivo y demasiado dominante. Muchos considerarán el concepto de algoritmo como algo muy propio de los tiempos actuales; una idea moderna que ha irrumpido recientemente en nuestras vidas. Pues bien, la realidad es bien distinta. ¿Qué les parece si les digo que la palabra algoritmo podríamos considerar que comienza a gestarse en  el siglo IX?. ¿Me creerían si les aseguro que ustedes mismos han ejecutado y creado verdaderos algorimos, quizá sin saber lo que significa dicho concepto?. Déjenme demostrárselo. Es muy posible que a lo largo de su vida se hayan visto en la tesitura de tener que explicarle a alguien con pelos y señales y sin ningún tipo de ambigüedad, la forma en la que se debe programar un video o un grabador DVD (dependiendo de la edad que ustedes tengan) para grabar un determinado programa a una hora concreta. Probablemente incluso hayan tenido que escribir el método a la persona en cuestión para que lo tenga a mano siempre que quiera realizar dicha operación. Algo parecido a lo siguiente:

1. Pulsa el botón de encendido del video ó del DVD.
2. Selecciona la hora con el botón verde de abajo a la derecha: primero las horas y luego los minutos.
3. Pulsa la tecla roja de arriba para seleccionar el canal.
4. -----

  En definitiva, un conjunto de instrucciones que siguiéndolas al pie de la letra y sin pensar, produzcan el resultado deseado; el cual en este caso es la programación del aparato para grabar el programa favorito de la persona que ejecuta las instrucciones.

  No me digan que  nunca han elaborado un plato de cocina siguiendo una receta, o bien le han pasado a un amigo o amiga la de ese plato que a ustedes les sale tan bien y que es un éxito entre los comensales que tienen la fortuna de degustarlo cuando asisten a una comida en su casa. Pues bien, todo esto no son más que algoritmos tan puros como los que puede diseñar un experto programador para resolver un problema de extrema dificultad. 

  Fue en el siglo IX cuando un matemático muslumán denominado Mohammed Ibn Musa abu Djafar Al-Khwarizmi, describió en una de sus obras una serie de métodos para realizar operaciones  matemáticas de forma automática y sin pensar. Sin saberlo estaba poniendo la semilla de los algoritmos muchísimos años antes de que surgiese esta denominación muy ligada a la disciplina de la Informática. Nótese la nada casual similitud de la última parte del nombre de nuestro personaje con el concepto protagonista de este escrito. Y es que, por si aún no lo tenían claro, un algoritmo es cualquier conjunto finito y ordenado de instrucciones cuyo seguimiento al pie de la letra proporcionará la solución de un determinado problema o la realización de un tarea concreta. Así definido, podemos trasladarlo a cualquier ámbito de nuestra vida diaria y por supuesto al ámbito informático, donde muchos lo ubicarían de forma exclusiva. Ahora que ya tienen la idea de lo que es un algoritmo, no pierdan la oportunidad de utilizar esta palabra convenientemente en cualquier contexto y momento procedente: ¿Podrías escribirme el algoritmo para programar adecuadamente mi DVD?; ¿Quieres que te pase el algoritmo correcto para sacar los billetes de avión por internet?... No dejen que este vocablo tan sólo sea utilizado por los informáticos y los matemáticos. La idea que encierra detrás es algo muy antiguo y muy presente en nuestras vidas a lo largo de toda nuestra historia. Incluso me atrevería a decir que los algoritmos, aunque no se denominasen como tales, surgieron en el mismo momento que apareció la comunicación en la raza humana. ¿Siguen pensando que es un concepto moderno?.

                                                                                             


Al-Khwarizmi

Maltrato bancario

Vamos a suponer que abren un establecimiento, digamos un supermercado, justo al lado de su casa. En dicho supermercado se sigue la siguiente política de actuación y trato al cliente:

1. A pesar de que hay disponibles 5 puestos de caja para realizar los cobros de la mercancía adquirida, nunca están operativos todos. Lo más habitual es que estén abiertos un máximo de 3 y con frecuencia hay colas para pagar .
2. En el mismo sentido del punto anterior, un buen día le dicen que si el importe de su compra es menor de 300€, debe usted pagar en una especie de puesto automático de cobro. En el supermercado aducen que así no tendrá que esperar colas. La realidad es que ahora usted hace una gran cola en esos puestos de cobro automático, que por otra parte, al ser máquinas, son especialmente difíciles en el trato directo.
3. Los precios de los productos del supermercado varían, no sólo dependiendo de la cantidad de mercancía que compre, sino también en función de lo que usted sea capaz de negociar directamente con el gerente; a pesar de que en teoría el establecimiento argumenta que los precios son los mismos para todo el mundo que compre la misma cantidad de productos.
4. De vez en cuando, sin previo aviso, al pasar por caja el supermercado le cobra una cantidad "extra" que por lo visto es para gastos de mantenimiento del establecimiento. Si usted se da cuenta y protesta, es posible que le reembolsen dicha cantidad o bien parte de ella. Si no se da cuenta, nada de la mencionada cantidad le será devuelto.
5. Aunque usted se haya percatado de la operación descrita en el punto anterior y en consecuencia le hayan devuelto el dinero "sustraido", periódicamente se producirá la misma maniobra en la esperanza de que en alguna ocasión a usted se le "olvide" la correspondiente protesta.
6. Si usted paga al final de més toda la compra realizada en el mes en curso, los productos son un 15% más caros. Si por el contrario paga una cantidad por adelantado, los productos sólo se abaratan un 0,5%.
7. Los productos de primera necesidad: huevos, leche, aceite,..., deben adquirirse en los 10 primeros días de cada más en horario de 10 a 11 de la mañana. Si usted quiere evitar esto tendría que abonarlos por adelantado.
8.  El precio que aparece en los productos no sólo no incluye impuestos sino que ocurren situaciones como la siguiente: en el estante de las legumbres pone que el kilo de alubias cuesta 2€, pero cuando usted va a abonarlas le cobran 10€ porque en dicho precio no está incluido el paquete de cartón en el que vienen, ni los costes de rotulación de las etiquetas, ni el gasto en pegamento para armar el envase, ni demás gastos indirectos. En el estante tan sólo está el precio de "las alubias". Debería usted haberse dado cuenta, ya que en el propio envase y a letra microscópica viene todo esto perfectamente explicado.
9. Si cualquier mercancía adquirida no es lo que usted pensaba y desea devolverla sin haberla usado o tocado, en el supermercado se la recogen pero le devuelven sólamente el 75% de lo que usted pagó por ella el día anterior.
10. El supermercado periódicamente se vanagloria de la gran cantidad de dinero que gana. Además, incluso en tiempos de crisis en los que usted apenas tiene dinero para llegar a fin de més, le llegan noticias de que ellos han tenido una ganancia un 20% superior a la del año anterior. Incluso utilizan estas cifras como reclamo publicitario, para que se vea lo "buen" establecimiento que es.

Mi pregunta es: ¿Harían ustedes sus compras en un supermercado con la política de actuación como el que les acabo de describir?; ¿Le ven ustedes algún futuro a un establecimiento con esas características?; ¿Se imaginan que absolutamente todos los supermercados de su ciudad se uniesen y siguiesen esa política?. Pues bien, supongo que ustedes, como yo mismo, también habrán "caido en la cuenta" de que el trato que se nos dispensa a la mayoría en prácticamente la totalidad de las entidades bancarias no dista demasiado del empleado por nuestro supermercado ficticio. Y es que en la actualidad y hablando de bancos, el "interés" lo ponemos nosotros.

Si no se ve claro aplíquese zoom

Supongamos que se tienen dos vasos. En el vaso A hay vino y en el vaso B hay la misma cantidad de agua. Se coge una cucharada de vino del vaso A y se echa en el vaso B. A continuación se coge una cucharada del vaso B, en el que hay agua y una cucharada de vino, y se echa en el vaso A. Después de estas acciones, en ambos vasos hay de nuevo la misma cantidad de líquido. La pregunta es ¿Hay más agua en el vino (vaso A) o más vino en el agua (vaso B)?.

Este no es un problema especialmente difícil. Después de un tiempo prudencial de razonamiento y tras asignar datos de capacidad a los vasos y a la cuchara, se llegará a la conclusión de que hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua. Quizá, dicho así y sin dejarles tiempo a pensar, ustedes no lo vean demasiado claro. Incluso después de explicarles la resolución del problema y de hacer los cálculos  en su presencia, es posible que les pareciese más complicado de lo que en realidad es. Situaciones como ésta, pero con problemas bastante más complejos, me suceden a mi con cierta frecuencia. La cuestión es que muchas veces, trabajando con los datos que aporta un problema o bien con los datos reales que uno mismo pondría  para resolverlo (en el caso que nos ocupa serían las capacidades antes mencionadas), las cuentas que hay que hacer se hacen dificultosas y es muy fácil equivocarse o perder el hilo del método resolutivo. En estas situaciones, una estrategia que muchas veces da resultado es exagerar los datos y llevarlos a un orden de maginitud que podamos manejar con comodidad. En definitiva:  ¡aplicarle zoom al problema!. 

En nuestro caso vamos a huir de vasos de 20 centilitros o cucharas de 15 mililitros y supongamos que en cada uno de los vasos hay 10 litros de líquido. Así pues tenemos 10 litros de vino en el vaso A y 10 de agua en el vaso B. Vamos a considerar ahora que la cuchara también es capaz de recoger 10 litros de líquido de una vez. Entonces, con nuestro espectacular "cucharón", en el primer trasvase habremos cogido todo el vino del vaso A y lo habremos echado al vaso B. Como nuestros vasos son monstruosos, ahora tendremos el vaso A vacío y en el vaso B descansarán 20 litros: 10 de agua y 10 de vino  a partes iguales en armoniosa mezcla.  Procedamos ahora con el segundo trasvase y recogiedo 10 litros del vaso B con la "megacuchara" los pasamos al vaso A. Nótese que de esos 10 litros, la mitad, es decir 5, son de agua y los otros 5 son de vino, ya que la mezcla del vaso B era a parte iguales. En consecuencia, finalmente tendremos 5 litros de agua y 5 de vino en el vaso A y exáctamente lo mismo en el vaso B, pues recordemos que durante todo este proceso simpre hubo 10 litros de agua y 10 litros de vino. Es decir, hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua. ¿No resulta esto bastante más claro?. Es que hemos aplicado un buen zoom para que se viese bien.  Por supuesto que esta técnica no es algo que siempre funcione, pero a decir verdad a mi me ha sacado de bastantes atolladeros a la hora de resolver problemas y de explicarlos posteriormente a una audiencia no experta. Ya lo saben, si no lo tienen claro, apliquen zoom hasta la saciedad para una mayor y mejor "resolución."

Cata matemática de problemas

Continuando con el tema de la anterior entrada de este blog, en muchas ocasiones las complicaciones "extra" que se crea uno mismo a la hora de resolver un problema son debidas a que no se ha reflexionado suficientemente sobre el enunciado. Yo siempre les digo a los alumnos que ante el enunciado de un ejercicio, deben leerlo con atención y no comenzar con la resolución hasta estar seguros de que comprenden lo que se les está preguntando. No suele ser buena idea leer rápidamente dicho enunciado y lanzarse a resolver el problema como si se tratase de una carrera contrarreloj. Si uno no entiende lo que se le está pidiendo  difícilmente podrá dar con la respuesta adecuada. Si por el contrario se entiende la pregunta se acaba de dar el primer paso hacia la solución correcta. Una vez conseguido este primer paso no está de más reflexionar sobre la búsqueda de la solución en lugar de comenzar a hacer razonamientos impulsivos fruto de la primera impresion. No olvidemos que en Matemáticas ocurre con frecuencia que las primeras impresiones no son las más acertadas. Quizá esas primeras impresiones lleven a la solución, pero por  un camino tortuoso y complicado, cuando una pequeña reflexión podría haber hecho ver otros caminos más directos y sencillos. La capacidad de reflexionar ha de ser entrenada. En algún sitio he leido que en un curso de cata de vinos, tema al que soy muy aficionado, el conductor del curso repartió unas fresas entre los asistentes a razón de una fresa para cada uno. Posteriormente les propuso el ejercicio de observar  la fresa durante 10 minutos antes de llevarla a la boca. Recordando este pasaje, hace unos años yo mismo realicé ese ejercicio con una fresa. 10 minutos observando una fresa es toda una eternidad. En ese tiempo contemplé todas y cada una de las características que tenía: la forma, la tonalidad del color, los aquenios (esa especie de pepitas pegadas), los restos del cáliz por el que está unida a la planta, experimenté su olor,.... Todavía hoy (y ya han pasado varios años) tengo muy nítida en mi mente la forma y olor de aquella fresa debido a esos 10 minutos de observación y reflexión, reprimiendo mis impulsos inciales de llevármela a la boca. Pasado ese tiempo ya  me encontraba sobradamente preparado para apreciar su sabor. Así debería ser también la resolución de un problema matemático: fase visual del enunciado, fase olfativa sobre la solución y finalmente la fase gustativa o de resolución propiamente dicha. Para terminar permítanme, una vez más, que les plantee un conocido problema cuya falta de reflexión sobre el mismo proporciona un método de resolución mucho más complejo que el que surge de una buena cata con sus tres fases bien diferenciadas:

  

  Un tren sale de Oviedo con destino Sevilla a una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo y por la misma vía, sale un tren de Sevilla con destino a Oviedo a una velocidad 50 km por hora. En ese mismo instante, una mosca que se encontraba posada en el parabrisas del tren que sale de Oviedo, comienza a volar alejandose del tren y sobre la misma vía a una velocidad de 90 km por hora. Inevitablemente la mosca se encontrará con el tren que salió de Sevilla y en ese momento dará media vuelta para no ser aplastada y siempre a la misma velocidad retornará hacia Oviedo. Cuando posteriormente se encuentre con el tren que salió de Oviedo de nuevo dará media vuelta dirigiéndose hacia el otro tren. Así sucesivamente hasta que finalmente los dos trenes colisionan y la mosca perece aplastada entre ellos. La pregunta es ¿Cuántos kilómetros ha recorrido la mosca en total?. Supongamos que entre Oviedo y Sevilla hay una distancia aproximada de unos 800 km.

  

  Puede parecer un problema muy complejo, ya que calcular los diferentes tramos que recorre la mosca hasta que se encuentra con un tren y con el otro para después sumarlos todos no es tarea trivial. Seguro que además se produce alguna confusión en los cálculos. Sin embargo,  si nos tomamos un tiempo de reflexión en la fase visual del enunciado, podremos a continuación oler la solución y finalmente darnos el gusto de resolverlo de la siguiente manera: calculando primero el tiempo que tardan ambos trenes en chochar y multiplicando ese tiempo en horas por 90, que son los kilómetros por hora que recorre la mosca.

Hacerlo sencillo es complicado

Frecuentemente les digo a mis alumnos que tienen la rara habilidad de complicar las cosas y complicarse la vida. Muchas de las veces que les planteo algún problema, a la hora de resolverlo lo convierten en una tarea mucho más difícil de lo que yo imaginaba cuando estaba pensando en el enunciado. Normalmente suelen imponer alguna condición que no está presente en dicho enunciado y que restringe mucho la búsqueda de la solución, o se imaginan cosas que yo nunca mencioné al proponer el problema, o establecen un planteamiento para la resolución que les llevará inequívocamente por un camino largo, tedioso y muy complejo.  Después se me quejaban de que no les había dado tiempo suficiente para resolverlo. Al principo pensaba que era una condición casi exclusiva de mis alumnos, pero con el paso del tiempo me he dado cuenta de que es más bien fruto de la condición humana. Todos tenemos la tendencia a complicarnos la vida no sólo en los problemas de carácter matemático, que es a los que me estoy refiriendo en estos momentos, sino también en los problemas cotidianos. Y la razón debe de ser que lo sencillo muchas veces es sinónimo de breve, ordenado, conciso y preciso; mientras que lo complicado es oscuro, desordenado, improvisado,...Cuando manejamos estos sinónimos uno empieza a entender que lo primero, aunque sencillo, es más difícil de conseguir que lo segundo. Veamos un ejemplo. Por cierto, no pierdan la oportunidad de probarlo con alguno de sus familiares o amigos.

  Supongamos que estamos encargados de alquilar  una pista de tenis para la celebración de un torneo que se está organizando. Al final se apuntan al torneo 32 tenistas y queremos saber para cuántos partidos debemos alquilar la pista. La solución parece muy sencilla. Veamos: primero los 32 jugadores juegan los dieciseisavos de final (menudo palabro). Son 16 partidos y quedan 16 jugadores. Luego vienen los octavos de final, es decir, 8 partidos más (van 24). A continuación los cuartos (4 partidos más y ya van 28), despues las semifinales, que son dos (y van 30) y por último la final. En consecuencia tenemos que coger la pista para 31 partidos. Muy fácil ¿verdad?. Pues bien, planteense ahora el problema el año siguiente después de comprobar que se han inscrito en el torneo 77 jugadores. Muchos de ustedes dirían: ¡Eso es imposible!; ¡Con 77 jugadores no se puede organizar un torneo de tenis! Yo les digo que su misión no es organizar el torneo, sino decirme para cuántos partidos debo coger la pista. Si logro convencerles de que intenten resolver el problema, seguramente la mayoría procederían de una forma similar a la siguiente: 77 jugadores no es divisible por dos, así que tenemos que considerar 76, que jugarán 38 partidos. Así pues hay un jugador que pasa directamente a la segunda ronda. En dicha segunda ronda tenemos 38 jugadores, más el que descansó son 39. ¡Vaya por díos! tampoco es divisible por 2. Así pues debe descansar un jugador. ¡Hombre, que no sea el mismo que antes!. En consecuenca tenemos 19 partidos más y ya van 57.... ¿Se dan cuenta de que en el intento de resolver el problema están organizando el torneo?. Se están complicando la vida innecesariamente. Al final, después de algún esfuerzo, llegarán al resultado correcto de 76 partidos. Pues a esa misma solución podrían haber llegado con el siguiente planteamiento: "Se tienen 77 jugadores y en cada partido de tenis el perdedor queda siempre eliminado. Así pues para conseguir un ganador hay que eliminar a 76 jugadores, que coincide inequívocamente con el número de partidos que hay que jugar". ¿sabrían ahora resolver el problema si les digo que al año siguiente el torneo se ha convertido en uno de los grandes y se apuntan 1555 jugadores?

Minúsculos números grandes

Dicen que en los tiempos ancestrales se decía: uno, dos, tres, infinito. Y la razón consistía en que cuando un número era tan grande que resultaba muy difícil imaginar su magnitud, ya se podía considerar como el infinito.  Esa misma situación ocurrre también hoy y aunque ya no sucede a partir del número tres, no anda demasiado alejado. ¿Alguna vez se han planteado en imaginar un número verdaderamente grande?; ¿Cuál es el número más grande que les ha sido de alguna utilidad?. En un blog sobre matemáticas muy interesante que se denomina tío Petros, seguramente en homenaje al libro "El tío Petros y la conjetura de Goldbach" de Apostolos Doxiadis, hay una excelente entrada que lleva por título: ¿Quién puede nombrar el mayor número?. Si tienen tiempo les aconsejo que comiencen a leerla. Eso sí, no es de fácil seguimiento y pueden acabar con dolor de cabeza, pero lo cierto es que a mi me pareció muy interesante. Resumiendo el contenido de dicha entrada, todo gira en la idea de un hipotético concurso en el cual hay que tratar de determinar el número más grande posible. Todos los concursantes lo harán simultaneamente en un tiempo establecido y ganará aquel que defina el  número más grande. Seguramente podremos nombrar números que nos parecen inmensamente grandes y que sin embargo son una insignificancia cuando alguien nos presenta otro número aún más inmenso. Pero seamos prácticos: ¿de qué  sirve un número inmensamente grande si no se es capaz de imaginarlo de alguna manera?. Para muchas personas no habrá diferencia entre ese número monstruoso y el infinito. ¿y cuál es el  número a partir del cual  ya podemos decir infinito?. Por ejemplo, si yo digo 100 mil ¿Cómo se imaginan ustedes ese número?. Yo trato de buscar un modelo. Por ejemplo puedo  pensar en un estadio grande lleno de personas; o bien imaginar una manifestación con ese número de gente y calcular el espacio de calle que ocuparían. Si pasamos al número 10 elevado a 6 (10^6),  es decir un uno seguido de 6 ceros, o sea un millón, la cosa ya es un poco más difícil de imaginar. Quizá tendríamos que irnos a otra escala o a otro modelo y pensar en lo que ocuparían un millón de folios apilados. Si consideramos que un paquete de 500 folios tiene un grosor de unos 5 cm, el millón de folios se elevaría a una altura de 100 metros.  Seguramente en la mayoría de nuestras ciudades no hay un rascacielos tan alto. ¿Lo habrían imaginado antes de hacer la cuenta?. Pues imaginen ahora lo siguiente. Supongamos que les digo que comiencen ahora mismo a contar: uno, dos, tres,....y que no paren hasta que llegen a un billón (10^12). No echen las cuentas todavía y confíen  en su intuición. ¿cuánto creen que tardarían en contar hasta esa cantidad?. A muchos les parecerá suficiente con un año, otros serán mucho más lentos y dirán que 10 años; quizá los más pesimistas aventuren que con 100 años va de sobra. Bien, echemos ahora las cuentas y para simplificar vamos a suponer que contamos a número por segundo (lo cual es mucho suponer cuando lleguemos a números altos). Entonces tardaríamos un billón de segundos. Dividamos el billón entre 86400 segundos que tiene un día. Después dividiremos entre 365 y ya tenemos los años. Salen aproximadamente uno 31709 años. Es decir más de 317 siglos. ¿No creen que el número 10^12 ya se puede considerar casi como infinito para nuestra imaginación?. Pues créanme si les digo que ese número es una auténtica birria al lado de 10^24; y este último no le llega a la suela de los zapatos a 10^48. Es más, todos estos números que he venido mencionando son verdaderamente minúsculos matemáticamente hablando. Pero para nosotros, cualquiera de ellos podríamos considerarlo como infinito en la vida cotidiana. Déjenme que termine con otra cosa relativa a los dos últimos números mencionados que espero que también les sorprenda. Hemos hablado de 10^24 y 10^48 como dos números verdaderamente inimaginables. Pues bien, voy a proporcinar un modelo para ellos. Redondeando, podemos decir que 10^24 (un uno seguido de 24 ceros) es aproximadamente el número de particulas de aire que introduce una persona adulta en sus pulmones en una respiración profunda. Está claro que 10^48 es un número mucho mayor, pero ¿cuánto mayor?. Si aplicamos el modelo de las respiraciones  profundas ¿qué podemos decir?. Pues lo que podemos decir es que 10^48 es equiparable al número de particulas de aire que existen en todo el planeta.

Entrada referenciada en el blog "Tío Petros"
http://tiopetrus.blogia.com/2006/022001--quien-puede-nombrar-el-mayor-numero-1-8-.php 

Bolonia: Un "Ferrari" a precio de saldo

Voy a contarles una historia: Supongamos que deben participar en una carrera que se celebrará dentro de un par de años. Ya están inscritos, no hay vuelta atrás. Se trata de una carrera en la que de manera obligada han de competir contra otros duros contrincantes. Tienen dos años para conseguir un buen coche que les permita hacer al menos un digno papel. Se ponen manos a la obra y tratan de hacer un estudio sobre el coche más adecuado. Constituyen una comisión que elabora un exhaustivo informe sobre las características óptimas del coche que tienen que comprar. Se tienen en cuenta todos los detalles sobre aceleración, comportamiento en curva, velocidad etc. Después de año y medio de árduos esfuerzos e interminables reuniones llegan a la conclusión de que el coche ideal para conseguir un éxito sin precedentes es...: ¡Un Ferrari!. Ya está decidido, comprarán un Ferrari. Se dirigen al concesionario, eligen el modelo y el color (rojo, por supuesto). Y a la hora de pagar sólo disponen de 12.000€ y resulta que el Ferrari cuesta 120.000€. ¿Qué hacer en esta situación?. En principio hay dos opciones: No presentarse a la carrera o bien competir con otro coche de  inferiores prestaciones.  Ninguna de las opciones parece adecuada. Si no se presentan a la carrera serán severamente sancionados, lo que puede suponer su ruina. Si participan con otro coche es posible que sean el hazmerreir antes incluso de comenzar la carrera. Pero a alguien se le ocurre una tercera opción y dice: "No nos preocupemos; ¡tendremos nuestro Ferrari en tiempo y forma!." Acompañan al audaz personaje a su garaje, donde les muestra el utilitario que ha venido utilizando durante los últimos 10 años. ¡Aquí teneis el Ferrari!. Aunque todavía no lo parece, disponen de casi seis meses para retocarlo. Y así, se ponen todos ustedes manos a la obra: pintan el coche de rojo Ferrari; le ponen pegatinas del cavallino rampante; acoplan unos tapacubos simulando las llantas; llenan de relojes todo el cuadro de mandos y un sin fin de "trampantojos" más, para que el utilitario quede convertido en un "auténtico Ferrari." Y llega el día de la carrera...¿Estarían ustedes nervisosos por el resultado? En el "hipotético" caso de fracasar ¿le echarían la culpa al piloto?. Yo, sinceramente, rezaría para que todos los participantes estuviesen en situación similar y al final la Gran Carrera se convirtiese en realidad en una feria del vehículo clásico.

Pues bien, esta historia que les acabo de contar es una buena metáfora del proceso de Bolonia en la Universidad Española (al menos en la Universidad de Oviedo). Después de multiples y detallados estudios se elaboró sobre el papel un cambio en el Método Docente universitario que supondría una auténtica mejora en el proceso enseñanza-aprendizaje. Algo verdaderamente espectacular que haría que el alumno se sintiera completamente partícipe en todo el proceso, lo que redundaría en un aprendizaje más coherente, más adecuado y en el cual los conocimientos aprendidos perdurarían durante mucho más tiempo. ¡Vamos: un Ferrari! Y creo sinceramente que el prototipo ideado sobre los planos proporcionaría esos espectaculares resultados. Lamentablemente a la hora de ponerlo en práctica faltan recursos económicos. Así, los grupos que en principo estaban presupuestados para un máximo de 50 alumnos (a mi juicio este número ya es excesivo), al final en algunos casos serán grupos de casi el doble; las tutorías grupales y seminarios que sobre el papel también deberían tener una gran presencia en cuanto al número de horas, quedan reducidas a la mínima expresión ya que el  número de alumnos por grupo en las mencionadas actividades es de alrededor de 10 en el primer caso y 25 en el segundo. En definitiva, como ya se ha comentado, el Ferrari es en realidad un utilitario "tuneado." Y así, la próxima semana comienza nuestra carrera. El semáforo está a punto de apagarse y los profesores, pilotos más o menos experimentados, miramos a nuestro alrededor y lo que vemos son, aparentemente, Mercedes, BMW, Mclaren,....¿serán reales? ¿Qué motor se esconderá dentro de esa aparente carrocería?. ¡Si parpadean se lo van a perder!

El Anumerismo está permitido

"El hombre anumérico" es la traducción al castellano de un libro de John Allen Paulos, cuyo título original es: "Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its consecuences." este libro consiste en una colección de historias, anécdotas y ejemplos reales sobre la dificultad de la sociedad actual para entender las Matemáticas presentes en la vida diaria. Y es que aunque nos echamos las manos a la cabeza cuando conocemos casos de analfabetismo, no parecen importarnos lo más mínimo los casos de anumerismo. No perdonamos que alguien no sea capaz de leer o escribir correctamente y sin embargo ni siquiera detectamos cuándo alguien no es capaz de realizar una sencilla operación para saber cuánto va a cobrar de intereses cada trimestre si su capital está al 3,2% anual. Si lo analizamos fríamente y tuviésemos que elegir entre leer con toda perfección o bien ser capaz de detectar errores o posibles engaños cotidianos mediante la realización de sencillas operaciones de comprobación ¿cuál sería nuestra elección?. Lo cierto es que el anumerismo está más presente en la sociedad de lo que sería deseable. Simplemente se trata de hacer el siguiente ejercicio: La próxima vez que lean el periódico, háganlo provistos de lápiz y papel y analicen simplemente las cifras que se manejan. En muchos casos se sorprenderán. En una ocasión se hablaba del consumo de carne anual en la región de Asturias en términos de kilogramos. Teniendo en cuenta los habitantes de la región y realizando un par de divisiones el resultado era que había un consumo medio de carne por habitante y día de más de un kilogramo. Es evidente que algunos de estos errores pueden ser simplemente erratas (aunque tengo mis dudas) pero incluso en este caso resulta imperdonable que no se detecten antes de la publicación, de la misma forma que se detectan las posibles faltas de ortografía. La próxima vez que escuchen en la televisión o lean en el periódico la cantidad de entradas para un gran partido de futbol  que se pueden vender en taquilla durante a lo sumo media hora, no pierdan la ocasión de hacer un cálculo teniendo en cuenta una estimación de lo que se tarda en vender una entrada (digamos 5 segundos siendo un auténtico rayo) y podrán comprobar que o bien es un dato falso, o bien todo el estadio está agujereado con taquillas cual queso gruyere. Y cuando encima se manejan datos estadísticos la cosa ya es esperpéntica. Una vez, al dar los datos del paro en un informativo televisivo, la presentadora quiso explicar lo que significaba un paro del 12%. Según ella eso significaba literalmente  que  "de cada 100 personas que buscan trabajo hay 12 que no lo encuentran". Si eso fuese así creanme que no habría paro. Hace muy poco en una tertulia radiofónica uno de los tertulianos afirmó que cada año el tabaco mataba al 50% de los fumadores. Imagínense, el año que viene más o menos la mitad de los fumadores que ustedes conocen morirán. En fin, que la verdad es que socialmente no prestamos la misma atención ni le damos la misma importancia a las cuestiones básicas de cálculo, como lo hacemos con las cuestiones alfabéticas. También podemos llegar al extremo del hombre del tiempo en un canal americano que una vez argumentó que el Sábado habría una probabilidad de lluvia de más o menos el 50%; y para el Domingo también el 50% de posibilidades de lluvia. Hasta aquí todo correcto. El problema fue que a continuación sentenció: "Así pues, lo que es absolutamente seguro es que el fin de semana lloverá."

No me puedo resistir a terminar este comentario con algo que las personas de Ciencias (Matemáticos, Físicos, Informáticos,...) sufrimos con gran frecuencia: Al finalizar una cena entre amigos ó familiares y cuando traen la cuenta, siempre hay alguien que sentencia: "Que divida el matemático para saber a cuánto tocamos". Después de mucho tiempo yo he dado con el antídoto ó contrapartida. En la primera oportunidad que tengo, cojo un periódico y se lo paso a cualquiera con formación de letras y contraataco con la siguiente frase: " Que me lo lea en voz alta el literato."

Prohibido hablar del cuello para arriba

Seguramente todos conocemos alguna persona especialmente dotada para los deportes. Comienzas a practicar un deporte junto a una de esas personas y resulta que empleando el mismo tiempo que tú, en unas cuantas sesiones ya te saca una buena ventaja. Otros sin embargo tienen una condición de base que  no les hace prosperar en la práctica de un deporte como se debiera esperar a tenor de las horas de práctica que  emplean. Sin ir más lejos, tengo un amigo que de pequeño sus padres, grandes aficionados al tenis, lo convencieron para que se apuntase a cursos de tenis. La verdad, a mi amigo no se le dan muy bien la práctica de los deportes. Para qué nos vamos a engañar, ¡es un poco patoso!. Pero de niño y por no defraudar a sus padres, puso gran interés en la práctica del tenis. A base de cursillos llegó a cojer un nivel aceptable aunque, como bien le dijo uno de los profesores a su padre: " Mire, su hijo se defenderá aceptablemente con el tenis, pero si lo que pretende es que se gane la vida jugando a ese deporte, ya le digo yo que eso no lo conseguirá." Mi amigo abandonó el tenis y por circunstancias que no vienen al caso empezó a practicar equitación y se convirtió en un gran jinete de hípica, ganando muchos premios en su juventud. Sinceramente creo que podría haberse ganado la vida en esta actividad. Sus padres nunca denunciaron al profesor de tenis que les hizo la valoración sobre las condiciones de su hijo para la práctica de este deporte. Más bien al contrario, agradecieron dicha valoración y nunca pensaron que su hijo era un disminuido por no poder ganarse la vida jugando al tenis.

En mi condición de profesor de universidad, impartiendo clase en las titulaciones de Informática y Matemáticas, en algunas ocasiones, de manera muy esporádica, me encuentro con alumnos recien llegados que aunque emplean muchas horas de estudio, los resultados que obtienen no son acordes con el trabajo que emplean. Tras un seguimento de sus actividades y algunas entrevistas con ellos, sospecho que no están suficientemente dotados para las Matemáticas ó  la Informática como para terminar la titulación que han elegido (o quizá la han elegido otros por ellos). Es posible incluso que dicha falta de cualidades de base también sea debida a que realmente no están haciendo la actividad que les gustaría. En cualquier caso, ya me conozco cuál es el futuro más probable de estos alumnos. Se pasarán unos cuantos años en la Universidad para  finalmente abandonar los estudios con una sensación de fracaso. Con suerte, algunos de ellos tomarán la decisión de comenzar otros estudios o actividad y obtendrán éxito . Pero incluso en estos casos, habrán perdido un tiempo precioso. De todas formas, en las escasas ocasiones en que me encuentro con  estos alumnos, yo no tengo los arrestos y atrevimiento como para decirles que lo más probable es que no se ganen la vida con las Matemáticas o con la Informática. Y es que temo que eso les pueda hacer  caer en el error de  pensar que les estoy diciendo que su capacidad intelectual es insuficiente. Porque no nos engañemos, lo cierto es que parece que está prohibido hablar del cuello para arriba. No hay ningún problema en reconocer que a uno se le da mal el tenis, o que no coordina muy bien como para ser un gran jugador de futbol, o que no tiene la suficiente condición como para ser campeón de 100 metros o bien que su constitución ósea no le hace apto para competir a gran nivel en natación. Sin embargo no se concibe que una persona no tenga éxito en el estudio de cualquier titulación universitaria, cuando acumula muchas horas de trabajo. Poco se conoce de nuestra capacidad cerebral, pero si atendemos a lo que ocurre en otros aspectos, tiene mucho sentido que haya personas más aptas "a priori" para determinados estudios y menos aptas para otros. En tanto en cuanto esto no sea probado científicamente, yo seguiré sin acumular el valor suficiente como para decirle a un chico "Lo tuyo no son las Matemáticas".

De bruces con el guardarrail

El canal de Castilla fue en su día una gran ruta fluvial de comunicación y transporte muy utilizada durante el siglo XIX. En el enlace http://www.canaldecastilla.org/ se puede obtener toda la información sobre el canal. Hoy en día uno de los usos que se le pretende dar es el turístico. Para ello en algunas localidades se organizan excursiones en pequeños barcos por el canal. También están arregladas las orillas del mismo para favorecer los paseos tanto a pie como en bicicleta. Yo puedo decir que ya he recorrido todo el canal: desde Alar del Rey hasta Medina de Rioseco y también he llegado hasta Valladolid. He ido viendo cómo iban arreglando paulatinamente las orillas con el objetivo de que todo el trayecto se fuese habilitando. Verdaderamente el esfuerzo que realiza el gobierno de Castilla y León en este sentido es valorable. En cualquier caso quedan cosas por hacer y quizá algunas de esas cosas no requieren demasiado esfuerzo. Por eso no se entiende muy bien por qué no se acomenten. Por ejemplo lo que se atisba en la fotografía. Uno va tranquilamente por la margen derecha del canal hacia Medina de Rioseco, por un camino bastante aceptable como se puede apreciar, y de repente, más o menos a la altura del pueblo de Capillas,  se encuentra con una bionda de esas que delimitan nuestras carreteras. Así, sin avisar, se da uno de bruces con la delimitación. Lo curioso es que al otro lado de la calzada continúa el camino como si tal cosa. Toca bajarse de la bicicleta y hacer un buen esfuerzo subiéndola por encima de la bionda, cruzar la carretera y volver a hacer la misma operación al otro lado para continuar. Y si se va a pie no queda otra que saltar, no sin ciertas dificultades .¿Tanto cuesta buscar una solución alternativa?. No se trata de hacer una pasarela para cruzar la calzada, pero un pequeño paso que al menos evite subir a pulso la bicicleta podría ser de momento suficiente. No comprendo cómo es posible que no se haya buscado remedio a esta situación. Quizá esperan del cicloturista que coja la suficiente velocidad como para que, aprovechando el terreno, se eleve sobre la carretera de la misma forma que ocurre en la película E.T., para aterrizar suavemente al otro lado y continuar con la excursión hacia Medina de Rioseco. En serio, creo que este pequeño lunar en el trayecto debe ser subsanado cuanto antes. Y ya puestos, tampoco estaría de más que se diesen a conocer las bellezas que se encuentran en los pueblos por los que se pasa. La mayoría no son atravesados por el canal, pero basta desviarse no más de 100 metros para entrar en ellos. Unos simples carteles en el canal mencionando lo más destacable de cada uno de estos pueblos sería suficiente.  Al menos  con información de si el pueblo tiene fuente pública o bar o incluso un pequeño lugar en el que comer.Nótese que a lo largo del canal no hay fuentes dónde rellenar cantimploras y mitigar la sed. Si se quiere dar un buen espaldarazo turístico al canal de Castilla, no me cabe la menor duda de que hay que cuidar estos detalles. Pero volviendo al tema principal de este comentario, se podría comenzar con la propuesta de una solución para salvar el guardarrailes que no genere una posible hernia inguinal a los cicloturistas.