Lo que no puede ser, no puede ser. Y además "Es Imposible"

Después de cinco meses desde que inauguré este blog, creo que todos aquellos que habéis aguantado estoicamente, leyendo todas las entradas que he escrito en este tiempo, no tendréis inconveniente en que a partir de ahora me tome la confianza de tutearos. Dicho esto, vamos con la reflexión que quiero plasmar en el día de hoy.

  Ayer mismo, mientras yo me encontraba viendo la televisión al tiempo que mi hija de ocho años cenaba, aprovechó para realizarme la siguiente pregunta: “Papá, ¿Sabes alguna cosa que sea imposible?”. Yo, como distraído le dije: “Pues, por ejemplo, que ahora mismo se haga de día”. Ella en su inocencia me argumentó que podría darse el caso de que se hiciese de día de repente. Entonces yo, que en esos momentos estaba muy interesado en lo que estaba viendo en la televisión, saqué una moneda del bolsillo y sosteniéndola sobre mi cabeza dije: “si suelto ahora mismo esta moneda, será imposible que vaya hacia el techo”. De nuevo ella llamó mi atención diciendo que eso no lo podría asegurar con certeza absoluta. Yo, que soy matemático, me estaba viendo en la obligación de tener que demostrarle formalmente a mi hija que hay cosas que son imposibles. Hasta el momento estaba teniendo muy poco éxito, ya que en ambas alternativas que le había dado como “imposibles”, ni siquiera podía demostrar con absoluta certeza su supuesta imposibilidad.  Y ciertamente no se me ocurría nada convincente. ¿Será cierto el famoso dicho de: "todo es posible"?. Entonces ocurrió algo que me dejó verdaderamente estupefacto. Mi querida hija me soltó:

 -“¿Quieres que te diga yo algo que es imposible?.

- ¡Venga, dímelo!, la incité yo.

- Pues es imposible: “encontrar algo que sea imposible”.

  En ese momento dejé de ver la tele y me concentré en lo que acababa de oír. Pero lo que vino a continuación aún me sorprendió más, si cabe. Con una linda sonrisa y tras decir su propuesta de “imposible”, sentenció: “aunque, bueno, si eso fuese así, habríamos encontrado un imposible y ya no sería imposible encontrar algo que sea imposible.”

  Apagué la tele y me quedé mirando fijamente a mi hija:

-¿De dónde has sacado eso que acabas de decir?

-De ningún lado, se me ha ocurrido ahora mientras cenaba.

-¿De verdad no lo has visto o leído en ningún sitio?

- ¡Que no!, ¿Dónde lo iba a leer?

  Mi estupefacción la estaba poniendo algo nerviosa, como si ella hubiese hecho algo malo o dicho algo improcedente. Lo cierto es que, seguramente de manera casual, acababa de dar con una demostración de que las cosas imposibles existen, aunque nunca seamos capaces de dar un ejemplo de algo imposible. Me acababa de proporcionar la demostración formal que yo no había sido capaz de realizar ante su primera pregunta. Una demostración absolutamente veraz e indiscutible. Ahora, un día después, estoy en disposición de enunciar y transcribir esa demostración en el siguiente teorema existencial:

Teorema (María Alonso. Febrero 2011)

Existen cosas que son imposibles que ocurran 

Demostración

Consideremos el siguiente hecho: “Encontrar algo que sea imposible que ocurra”. Llamémosle hecho A. Es obvio que se da uno de estos dos casos: O bien el hecho A es posible, o bien el hecho A es imposible.

  Si suponemos que el hecho A  es imposible, entonces tenemos lo siguiente: "Es imposible encontrar algo que sea imposible que ocurrra". Pero esto nos lleva a una contradicción, ya que estamos suponiendo la imposiblidad del hecho A  y por tanto habríamos encontrado algo que es imposible; lo que contradice la última frase entrecomillada.

En consecuencia, nuestra suposición no es cierta y por tanto no queda más remedio que admitir que el hecho A es posible. Así pues, tenemos finalmente: "Es posible encontrar algo que sea imposible que ocurra". Esto finaliza la demostración.

  Confío en que se haya entendido bien. Mi hija lo tiene muy claro y así me lo ha hecho ver a mí.

Caminata infatigable vs. Meta inalcanzable

Como ya hemos aprendido a dar pasos por nuestra carretera “recta real”, vamos ahora a tratar de contabilizar la distancia recorrida o longitud total del paseo. Supongo que muchos de ustedes pensarán que si comenzásemos a andar y nunca nos parásemos llegaríamos a cualquier parte, por lejana que estuviese. Sólo sería cuestión de tiempo. Es este un hecho bastante razonable y seguramente todos coincidirán en que es verdad. ¿Qué pensarían si les dijese que existen metas inalcanzables por mucho tiempo que estemos andando? De hecho esas metas no están muy lejanas precisamente. Voy a demostrarles que aunque estuviésemos andando hasta el fin de los tiempos (y mucho más), en nuestra carretera real nunca llegaríamos a traspasar la marca que tiene el número 1. Veamos:

  Nos encontramos de nuevo sobre la marca con el número cero. ¿Recuerdan la primera sucesión “cansada” de la entrada anterior del blog? ¡Sí hombre!; aquella en la que cada paso era la mitad del paso anterior. Supongamos que damos el primer paso y tan sólo llegamos a la marca 1/2; el segundo paso será de amplitud 1/4; el tercero de amplitud 1/8. Es decir, cada paso será de amplitud la mitad del paso anterior. ¿Les suena esto? ¿Cuál sería la distancia recorrida en estos tres primeros pasos? Muy sencillo: tan sólo hay que hacer la suma de las amplitudes. Es decir: 1/2+1/4+1/8 = 7/8. Ahora vamos a seguir nuestra caminata de manera infatigable. Con pasos “cansados”, ya que cada uno tiene una zancada que es la mitad del anterior, pero nunca nos vamos a parar. Despidámonos de nuestros familiares porque vamos a hacer un viaje interminable por la carretera real. ¿Hasta dónde lograremos llegar? Si hacemos la misma cuenta de antes, pero en lugar de tres pasos consideramos cuatro, habría que sumarle a 7/8 la amplitud del cuarto paso, que es 1/16. Esta suma da un total de 15/16. ¿Adivinan cuánto suman los cinco primeros pasos? En efecto, 31/32. En general, después de, digamos, n pasos (pónganle a n el valor que quieran) el camino total que habremos recorrido será un cociente, donde el denominador (número de abajo) tendrá el valor “2 elevado a la potencia n”, mientras que el numerador (el que está arriba) será precisamente una unidad más pequeño que el de abajo. Supongo que sabrán que si dividen un número entre otro número más grande, el resultado será menor que la unidad. Luego por mucho que nos empeñemos y dejemos la vida en ello, en nuestro paseo interminable nunca llegaremos a tocar la marca con el número uno. No se despidan pues de su familia, ya que no irán muy lejos.

  Seguro que piensan que la razón de que no atravesemos la marca con el número uno se debe a que los pasos son cada vez más pequeños. Ciertamente esa es una razón, pero no es algo determinante. Les pondré ahora el siguiente ejemplo, aparentemente con la misma filosofía de paseo “cansado”. La diferencia es que ahora los pasos, aunque siguen siendo cada vez más pequeños, no disminuyen de la misma manera. El primero será de amplitud de zancada 1/2 (como antes). Pero el segundo será de amplitud 1/3, el tercero será una zancada de 1/4, el siguiente de 1/5 y así sucesivamente. A pesar de que los pasos se van haciendo cada vez más pequeños, en este paseo nos alejaremos tanto como queramos. Por muy lejana que pongan la meta en nuestra carretera, dicha meta será traspasada con toda seguridad.  Una explicación de este hecho se puede hacer en los siguientes términos:
 

  Después de tres pasos, la distancia recorrida es: 1/2+1/3+1/4. Si consideramos sólo la suma del segundo y del tercer paso, ésta es 1/3+1/4, lo cual es mayor que 1/2.  De hecho 1/2 = 1/4+1/4 y aunque 1/4 es la amplitud del tercer paso, nuestro segundo paso tiene una amplitud mayor ¿recuerdan? (Un tercio de una pizza, de toda la vida es más grande que un cuarto). Así pues, si con el primer paso recorremos una distancia de 1/2 y con los dos restantes una distancia mayor que 1/2, tiene que resultarles evidente que la distancia total recorrida con tres pasos es mayor que 1. Ya hemos sobrepasado la marca con el uno. Aquella que era inalcanzable con el paseo anterior. Traspasar la marca con el 2 nos costará un poco más, pero todo llegará. Vamos a ver dónde estamos después de recorrer 7 pasos. Pues es muy fácil ya que habremos recorrido la siguiente distancia: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8. ¿Cuánto es esto? Habíamos visto antes que los tres primeros sumaban una distancia mayor que 1. Pues bien, mediante la misma técnica podemos ver que los cuatro restantes suman una distancia mayor que 1/2, ya que precisamente 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2 y esta situación sería si esos cuatro pasos tuviesen todos la amplitud del menor. En consecuencia, los 7 primeros pasos suman más que 1,5. Si seguimos haciendo esto, considerando ahora los 15 primeros pasos habremos superado la marca del 2. Después de 31 pasos la marca del 2,5 habrá quedado atrás. Cuando hayamos recorrido 63 pasos la marca con el 3 quedará superada. Así sucesivamente iremos superando todas las marcas. Cada vez nos costará más trabajo superar la marca siguiente (no olvidemos que estamos ante un paseo “cansado”), pero tarde o temprano esa marca quedará atrás.
 

  Así pues, la próxima vez que vayan a iniciar un paseo reflexionen sobre la amplitud de la zancada. Aunque ésta vaya disminuyendo a cada paso, puede ocurrir que siempre estén cerca de casa, o bien que no regresen jamás.

Sucesiones cansadas hasta el límite

Sin duda todos nosotros (sobre todo aquellos que ya hemos pasado de los cuarenta) hemos estudiado en la enseñanza secundaria la definición de límite de una sucesión. Primero nos definieron la sucesión como una fila infinita de números separados por “comas”, que generalmente se denotaban como x₁,x₂,…,x_n,…, uno  tras otro sin que hubiese uno que fuese el último, ya que esa fila continuaba sin terminar jamás. Esto ya tenía cierta complicación para nuestra mente, nada acostumbrada al concepto poco real de infinitud. Pero cuando nos escribían en la pizarra - que por cierto es un objeto en periodo de extinción. No olvidemos que “pizarra” es un tipo de roca con el que se fabricaban las del colegio. Ahora aunque se siguen llamando igual, casi ninguna está fabricada con dicho material. Que contrasentido ¿verdad? Ahora muchas son de un material plástico donde se puede escribir con unos rotuladores que al poco de utilizarlos se les acaba la tinta y a duras penas puede verse lo que se escribe. Otras veces resulta casi imposible borrar lo anteriormente escrito. Incluso recientemente se ha comenzado a hablar de la “pizarra electrónica”- Pero bueno, este es otro tema distinto al que estamos tratando en esta entrada. Decía que si ya nos resultaba complicado el concepto de infinitud, cuando nos ponían en la pizarra la definición de límite de una sucesión prácticamente nadie trataba de comprender aquel trabalenguas. Lo que tocaba era aprenderlo de memoria y recitarlo como quien recita un poema en cualquier lengua muerta de la que nunca hubiese oído hablar. De hecho, yo no entendí perfectamente el concepto de límite hasta que llegué a la Universidad. Sin embargo, creo que huyendo de definiciones escabrosas, me atrevo a intentar hacerles un boceto de la idea que está detrás de dicho concepto.

  Supongamos que estamos en una carretera en pleno desierto. Una carretera de esas que son completamente rectas y que se pierden en el horizonte. Si miramos hacia un lado y hacia otro tan sólo vemos carretera. Hace mucho sol (esto es irrelevante, pero ayuda a entrar en situación). Nosotros estamos encima justo de una marca que pone el número 0. Delante nuestro, a cierta distancia está otra con el número 1, luego otra con el 2, alcanzamos a ver una más con el 3 y a duras penas, a lo lejos vemos una nueva marca con ¿un 4 quizá? Detrás nuestro  más de lo mismo, pero en este caso los números vienen precedidos por una pequeña rayita (un signo menos). Señores, ¡¡ bienvenidos a la recta real !!. Vamos a dar un paso hacia adelante. Será un paso que llegará hasta la marca con el número 1. Un paso de longitud uno. Pero nos hemos cansado un poco y el siguiente paso tendrá una amplitud más pequeña. Digamos que será la mitad del primero. Es decir será de longitud 0.5, o como nos gusta a los matemáticos, 1/2. Nos seguimos cansando y el siguiente paso volverá a tener por longitud la mitad del anterior. Será de longitud 1/4. Así sucesivamente, nos vamos cansando a cada paso y sólo podemos recorrer una distancia que es la mitad de la recorrida en el paso anterior. Pero nunca nos pararemos. No podremos decir en ningún momento que hayamos recorrido con un paso una longitud igual a cero, ya que si en un paso hemos recorrido algo, por pequeño que sea, en el siguiente habremos recorrido la mitad. Y la mitad de “algo” no es cero a menos que ese “algo” ya fuese igual a cero. Sin embargo todos entendemos que en nuestro cansancio los pasos se van haciendo más y más pequeños. Llegarán a ser tan pequeños como se quiera, tan sólo hay que seguir andando. Estamos ante una sucesión donde los x₁,x₂,…,x_n son los tamaños de los pasos. Y esta sucesión tiene límite igual a cero. Además podemos decir que estamos ante una “sucesión cansada” ya que si marcamos con una brocha el lugar donde ponemos el pie en cada uno de los pasos, veremos que las marcas cada vez están más juntas a medida que andamos. Y seguirán estando tan juntas como se quiera. Llegaremos a tener que tirar la brocha y poner la marca con un bolígrafo para que no se confunda con la anterior. Incluso en cierto momento tendremos que utilizar un alfiler manchado en tinta. Algo más tarde ni con un láser evitaremos que las marcas se confundan. Pero entre cada par de marcas habrá siempre algo de distancia. 

  Y no crean ustedes que esto sólo pasa cuando cada paso es menor que el anterior. Volvamos al principio, a la marca con el número cero. Ahora daremos la primera zancada de longitud 1/2.  La segunda será un poco más grande: tendrá longitud 1/2+1/4. La tercera algo mayor: 1/2+1/4+1/8. En la cuarta recorreremos 1/2+1/4+1/8+1/16.  ¿Se dan cuenta de cómo son las cosas en este segundo paseo? Cada paso es un poco mayor que el anterior, pero esta diferencia entre dos pasos consecutivos cada vez se hace más y más pequeña. En cada paso nos superamos, pero ese vigor de superación va disminuyendo. Estamos de nuevo ante una “sucesión cansada”. No olviden que nuestra sucesión es el tamaño de los pasos.

  Hemos dado pues dos paseos mediante sucesiones cansadas. En el primero está muy claro que el límite de la longitud de los pasos es cero, pero ¿cuál es el límite de dicha longitud en el segundo de los paseos? El hecho de que cada paso es mayor que el anterior puede confundirles y hacerles pensar que al cabo de un tiempo estaremos dando pasos gigantescos. Pues créanme que no es así y que la realidad es que en el segundo paseo nunca llegaremos a dar una zancada de longitud 1, a pesar de que nos aproximaremos a esa cifra hasta límites insospechados. Sólo hay que hacer algunas cuentas fáciles. Recuerden que el primer paso tenía longitud 1/2. Haciendo la suma correspondiente al segundo paso, éste tiene longitud 3/4. El tercero será de longitud 7/8 y el siguiente de longitud 15/16. Así sucesivamente la longitud de cada paso será cada vez más grande pero nunca será de longitud 1, ya que en las fracciones que se van construyendo el número de arriba siempre será una unidad inferior al número de abajo. El límite de esta sucesión es 1, como ya habrán deducido ustedes mismos. 

  Si han leído hasta aquí sin desfallecer ante tanto “cansancio”, permítanme que finalice esta entrada del blog con un teorema de los importantes dentro de las matemáticas:

Teorema

En la carretera que hemos denominado “recta real”, toda sucesión cansada posee límite y recíprocamente, toda sucesión que posee límite es una sucesión cansada.

¿No les resulta evidente?  Por cierto, las sucesiones cansadas se las habrán presentado en su adolescencia como “sucesiones de Cauchy”.

Teatralidad Docente

La representación teatral ha sido siempre una de mis grandes aficiones. Ya de niño sentía una gran pasión por representar e imaginar situaciones, supongo que como todos los niños.  Sin embargo en mi caso esta faceta no desapareció al ir cumpliendo años y aún hoy, habiendo dejado hace mucho tiempo la pubertad, me sorprendo a menudo haciendo gestos ante un espejo tratando de reflejar situaciones de alegría, miedo, enfado o tristeza. Creo que una de mis aficiones un tanto frustradas fue el arte dramático.

Recientemente me he inscrito en un taller de teatro que ofrece el ayuntamiento de Oviedo. Esto me permite dar rienda suelta a mi imaginación, junto con otras personas que comparten conmigo esta pasión. Para mí esas dos  horas semanales son como una desconexión total del mundo. Es como una burbuja que puntualmente aparece a mi alrededor todos los Jueves y que supone una descarga de presión y posterior recarga con renovada energía. Seguramente en todo esto resulta crucial la maestría con la que dirige esas sesiones Valentín, el incansable y paciente director del taller. Pero la razón de este post no es precisamente hablar de este taller, sino de la gran analogía que comparten El Teatro y La Docencia, del tipo que sea.

La actividad docente universitaria en una asignatura de las que imparto, yo la veo en cierto modo y salvando las distancias, como una especie de ciclo de representaciones teatrales de un determinado tema. Cada una de las clases es como una pequeña función de aproximadamente una hora de duración. Es como una obra interactiva en la que el actor principal y conductor de la misma, que se constituye en el profesor, debe fomentar la participación del público. La obra no puede ser monocorde, sino que tiene que tener cambios de ritmo que capten la atención del público. Se ha de intercalar el monólogo con la incentivación del público, que ha de sentirse partícipe de la “representación teatral”. El profesor tiene que tener muy bien aprendida la partitura y debe poseer las herramientas necesarias para volver a ella ante la actividad del público, para no dar la sensación de estar en una improvisación total. Y fundamentalmente, el actor, que conoce el final de la obra así como el camino hacia el mismo, no debe demostrar al público dicho conocimiento postrero y ha de entusiasmarse ante los resultados obtenidos como si fuese la primera vez que los ve. Los grandes actores deben actuar en cada uno de los pases de la obra de una manera casi idéntica, siempre con cierta flexibilidad para salir de situaciones imprevistas, a pesar de que ya la hayan representado más de un centenar de veces. Nótese que el público cambia cada día y los conocimientos iniciales del mismo son siempre parecidos. Un volumen de voz suficientemente alto, los cambios de ritmo y las estrategias para resaltar las situaciones con mayor vehemencia que en la vida real son la base para que el mensaje llegue al destinatario. Es muy posible que el argumento de la obra no sea inicialmente interesante para la audiencia, pero creo que con una buena puesta en escena puede que se genere cierto interés, a priori ausente. Sin embargo con una representación tipo monólogo, uniforme y con una tonalidad somnífera, se conseguirá que el público del teatro sea más escaso en cada una de las funciones.

Hace algo más de dos años y en Lleida, durante el transcurso del Congreso Internacional de Docencia Universitaria (CIDUI 2008), asistí a una conferencia que impartió el profesor Claudi Alsina, matemático y Catedrático de la Universidad Politécnica de Cataluña. Aunque parezca increíble, teniendo en cuenta la gran cantidad de información que se puede encontrar en internet sobre el profesor Alsina, yo nunca había oído hablar de él. Para mí esa conferencia fue sin duda una de las más interesantes a las que he asistido. El tema era la docencia en el proceso de Bolonia (tema muy actual en nuestros días) y planteaba una visión un tanto futurista de los resultados de su implantación. Fue una “representación teatral” verdaderamente magistral. El profesor Alsina posee, a mi juicio, todas las virtudes teatrales de un excelente docente y si existiesen los premios “Max” de la docencia, sin lugar a dudas la estatuilla que simbolizase el galardón, debería tener el "rechoncho" perfil del profesor Alsina.

Topología asesina

En mis tiempos de estudiante en la Universidad de Cantabria, una pintada en la fachada principal de la vieja Escuela de Caminos rezaba: "Topología Asesina". Aunque yo estudiaba en la Facultad de Ciencias, no me resultaba desapercibida dicha pintada cada vez que pasaba por delante de ella. Su  mensaje me acompañó durante toda la carrera y a medida que me iba adentrando en los conceptos propios de la Topología, me daba cuenta de la tremenda desesperación que debió de sentir el autor de semejante expresión mural. Y es que la Topología es una de las materias más áridas y de conceptos más complejos y abstractos de la Matemática. La Topología no te deja indiferente: o la amas o te desquicia. Afortunadamente a mi me entusiasmó, pero eso no significa que no comprendiese el sufrimiento de aquellos a los que les supuso una auténtica maldición. Pero ¿Qué es la Topología? Trataré de explicarlo de  la manera más informal y atractiva posible.

  La Topología es una rama de las Matemáticas que de alguna forma estudia los objetos cuyas propiedades permanecen inalteradas mediante transformaciones continuas (ya me he pasado un poco ¿verdad?). Imaginen ustedes un objeto cotidiano: por ejemplo un plato. Pero imagínenselo de chicle, o mejor todavía, de masa de pizza. Además supongan que esa masa se puede estirar hasta límites insospechados. Ahora comiencen a deformarla cuanto quieran, estirando encogiendo y retorciendo; pero está prohibido romperla, agujerearla o pegar lo que estaba separado. De esta forma a partir de ese plato "chicloso" ustedes podrán hacer otro mucho más grande. Pero también podrían moldear un sombrero de vaquero, uno de copa ó incluso un gorro nazareno. Igualmente estaría permitido construir una moneda con sus correspondientes relieves e incluso la silueta de cualquier automóvil, como si estuviese tapado con esa masa a modo de funda. Todos esos objetos son "topológicamente equivalentes". Sin embargo, no estaría permitido hacer un anillo ni un collar, pues para eso habría que agujerear el plato. A modo de broma se dice que un Topólogo es incapaz de distinguir una taza de una rosquilla. La razón es que tanto la taza como la rosquilla tienen un agujero (en el caso de la taza corresponde al asa). En consecuencia partiendo de la taza y agrandando el asa se puede llegar a obtener la rosquilla. ¿les empieza esto a parecer cosa de locos?. Pues déjenme que les diga que a la mayoría de ustedes les habrá sido de utilidad la topología sin ni siquiera saberlo. No me digan que nunca han consultado un mapa de metro o de una red de autobuses. Convendrán conmigo en que en dichos mapas no se refleja  la forma exacta del camino que siguen las líneas. Tampoco sus longitudes siguen una misma escala, ni las distancias entre las diferentes estaciones son fieles a la realidad. En definitva, dichos planos no son geométricamente exactos. Sin embargo son de gran utilidad, ya que proporcionan la "información topológica" necesaria para poder movernos por la ciudad y llegar a nuestro destino sin perdernos. A partir de ellos podríamos construir, deformándolos topológicamente, las lineas de metro a tamaño real, con sus correspondientes estaciones marcadas. Lo mismo ocurre cuando vemos cualquier mapa de nuestro sistema solar, con el sol y todos los planetas. Si dichos mapas estuviesen hechos a escala seguramente la tierra debería ser representada como la cabeza de un alfiler mientras que el sol sería como una pelota de tenis. Además, en cuanto a las distancias, si en el mapa la tierra y la luna estuviesen separadas por un par de centímetros, la separación entra la tierra y el sol debería ser de unos 7 metros y medio. Como se puede observar, también en este caso resulta de mayor utilidad la información topológica de nuestro sistema solar, ignorando escalas. 

  Espero que estas argumentaciones sirvan para que ustedes, señores del jurado, otorguen el veredicto de inocente de asesinato, a mi defendida Topología.

Existes y Para todos

Dos de las cosas que más atemorizan a mis alumnos de Informática son los símbolos matemáticos de “existencia” y el famoso “para todo”, que se representan respectivamente mediante esos caracteres tan raros  que son una E mirando hacia el otro lado y una A patas arriba (∃, ∀).  A esos símbolos se les denomina “cuantificadores”, siendo el primero de ellos el cuantificador existencial y el segundo el cuantificador universal.  La razón de esa denominación es bastante clara. Ambos conceptos cuantifican el número de elementos de un conjunto que cumplen una determinada propiedad: “Al menos uno”, en el caso del cuantificador existencial y “todos ellos”, en el caso del cuantificador universal. Pongamos un ejemplo con una situación cotidiana: Supongamos que estamos en una sala de cine. Si no está llena y consideramos el conjunto de todas las butacas de la sala, podremos decir que “existe alguna butaca que está vacía”. Sin embargo si el cine estuviese lleno diríamos que “para toda butaca, ésta está ocupada.” Ahora bien, en cuanto se vacíe el cine podremos decir sin mentir: “para toda butaca, ésta está vacía”; y también será cierto que: “existe alguna butaca que está vacía”. Curioso ¿verdad? Si se reflexiona un poco sobre ello, se observará que tiene su “lógica”. Cuando el cine tiene butacas (como es de suponer) y se dice que existe una butaca que está vacía no significa necesariamente que sea la única, sino que al menos hay una butaca sin ocupar. Es decir, podría ocurrir que hubiese más de una, o incluso todas, y la afirmación seguiría siendo correcta. Sin embargo si se asegura que para toda butaca, ésta se encuentra vacía, eso es algo más estricto, pues la única situación que hace cierta la afirmación es que el cine esté completamente vacío.

  Por lo tanto, cuando el conjunto no es vacío (algún día hablaré sobre este curioso concepto), el cumplimiento de una propiedad por todos los elementos del mismo (cuantificación universal) también hace cierto el cumplimiento de dicha propiedad por algún elemento del conjunto (cuantificación existencial), mientras que no sucede lo mismo al contrario. La existencia de un elemento que cumpla la propiedad no significa necesariamente que todos los elementos del conjunto la cumplan, aunque tampoco lo impide. Pues bien éstas son algunas de las peculiaridades de nuestros dos “amigos cuantificadores”.

  Como decía al principio de esta entrada, si los “existes” y “para todos” producen temor vistos por separado, la situación se torna extrema cuando ambos cuantificadores aparecen juntos. Además, en ese caso el orden de aparición es muy importante  para determinar el significado de la afirmación. No es lo mismo: "∀ X ∃ Y “ que “∃ Y ∀" X”. En el primer caso Y tiene una dependencia de X, es decir que cada valor de la X posee un valor para la Y, pudiendo ocurrir que diferentes valores para la X tengan asociados diferentes valores para la Y. Sin embargo en el segundo caso el valor de la Y es el mismo para todos los valores de la X. Estos diferentes significados dependiendo del orden de declaración de los cuantificadores también se dan en situaciones cotidianas. Veamos algunos ejemplos:

1.   No es lo mismo: “Para todos los coches existe un conductor” que “Existe un conductor para todos los coches "
2. No es lo mismo: “Para todos los hijos existe un padre” que “Existe un padre para todos los hijos”

Y como les dice a sus alumnos de Álgebra una colega profesora:

     No es lo mismo: "Para todos vosotros existe un aprobado" que " Existe un aprobado para todos vosotros"