Lo que no puede ser, no puede ser. Y además "Es Imposible"

Después de cinco meses desde que inauguré este blog, creo que todos aquellos que habéis aguantado estoicamente, leyendo todas las entradas que he escrito en este tiempo, no tendréis inconveniente en que a partir de ahora me tome la confianza de tutearos. Dicho esto, vamos con la reflexión que quiero plasmar en el día de hoy.

  Ayer mismo, mientras yo me encontraba viendo la televisión al tiempo que mi hija de ocho años cenaba, aprovechó para realizarme la siguiente pregunta: “Papá, ¿Sabes alguna cosa que sea imposible?”. Yo, como distraído le dije: “Pues, por ejemplo, que ahora mismo se haga de día”. Ella en su inocencia me argumentó que podría darse el caso de que se hiciese de día de repente. Entonces yo, que en esos momentos estaba muy interesado en lo que estaba viendo en la televisión, saqué una moneda del bolsillo y sosteniéndola sobre mi cabeza dije: “si suelto ahora mismo esta moneda, será imposible que vaya hacia el techo”. De nuevo ella llamó mi atención diciendo que eso no lo podría asegurar con certeza absoluta. Yo, que soy matemático, me estaba viendo en la obligación de tener que demostrarle formalmente a mi hija que hay cosas que son imposibles. Hasta el momento estaba teniendo muy poco éxito, ya que en ambas alternativas que le había dado como “imposibles”, ni siquiera podía demostrar con absoluta certeza su supuesta imposibilidad.  Y ciertamente no se me ocurría nada convincente. ¿Será cierto el famoso dicho de: "todo es posible"?. Entonces ocurrió algo que me dejó verdaderamente estupefacto. Mi querida hija me soltó:

 -“¿Quieres que te diga yo algo que es imposible?.

- ¡Venga, dímelo!, la incité yo.

- Pues es imposible: “encontrar algo que sea imposible”.

  En ese momento dejé de ver la tele y me concentré en lo que acababa de oír. Pero lo que vino a continuación aún me sorprendió más, si cabe. Con una linda sonrisa y tras decir su propuesta de “imposible”, sentenció: “aunque, bueno, si eso fuese así, habríamos encontrado un imposible y ya no sería imposible encontrar algo que sea imposible.”

  Apagué la tele y me quedé mirando fijamente a mi hija:

-¿De dónde has sacado eso que acabas de decir?

-De ningún lado, se me ha ocurrido ahora mientras cenaba.

-¿De verdad no lo has visto o leído en ningún sitio?

- ¡Que no!, ¿Dónde lo iba a leer?

  Mi estupefacción la estaba poniendo algo nerviosa, como si ella hubiese hecho algo malo o dicho algo improcedente. Lo cierto es que, seguramente de manera casual, acababa de dar con una demostración de que las cosas imposibles existen, aunque nunca seamos capaces de dar un ejemplo de algo imposible. Me acababa de proporcionar la demostración formal que yo no había sido capaz de realizar ante su primera pregunta. Una demostración absolutamente veraz e indiscutible. Ahora, un día después, estoy en disposición de enunciar y transcribir esa demostración en el siguiente teorema existencial:

Teorema (María Alonso. Febrero 2011)

Existen cosas que son imposibles que ocurran 

Demostración

Consideremos el siguiente hecho: “Encontrar algo que sea imposible que ocurra”. Llamémosle hecho A. Es obvio que se da uno de estos dos casos: O bien el hecho A es posible, o bien el hecho A es imposible.

  Si suponemos que el hecho A  es imposible, entonces tenemos lo siguiente: "Es imposible encontrar algo que sea imposible que ocurrra". Pero esto nos lleva a una contradicción, ya que estamos suponiendo la imposiblidad del hecho A  y por tanto habríamos encontrado algo que es imposible; lo que contradice la última frase entrecomillada.

En consecuencia, nuestra suposición no es cierta y por tanto no queda más remedio que admitir que el hecho A es posible. Así pues, tenemos finalmente: "Es posible encontrar algo que sea imposible que ocurra". Esto finaliza la demostración.

  Confío en que se haya entendido bien. Mi hija lo tiene muy claro y así me lo ha hecho ver a mí.

Caminata infatigable vs. Meta inalcanzable

Como ya hemos aprendido a dar pasos por nuestra carretera “recta real”, vamos ahora a tratar de contabilizar la distancia recorrida o longitud total del paseo. Supongo que muchos de ustedes pensarán que si comenzásemos a andar y nunca nos parásemos llegaríamos a cualquier parte, por lejana que estuviese. Sólo sería cuestión de tiempo. Es este un hecho bastante razonable y seguramente todos coincidirán en que es verdad. ¿Qué pensarían si les dijese que existen metas inalcanzables por mucho tiempo que estemos andando? De hecho esas metas no están muy lejanas precisamente. Voy a demostrarles que aunque estuviésemos andando hasta el fin de los tiempos (y mucho más), en nuestra carretera real nunca llegaríamos a traspasar la marca que tiene el número 1. Veamos:

  Nos encontramos de nuevo sobre la marca con el número cero. ¿Recuerdan la primera sucesión “cansada” de la entrada anterior del blog? ¡Sí hombre!; aquella en la que cada paso era la mitad del paso anterior. Supongamos que damos el primer paso y tan sólo llegamos a la marca 1/2; el segundo paso será de amplitud 1/4; el tercero de amplitud 1/8. Es decir, cada paso será de amplitud la mitad del paso anterior. ¿Les suena esto? ¿Cuál sería la distancia recorrida en estos tres primeros pasos? Muy sencillo: tan sólo hay que hacer la suma de las amplitudes. Es decir: 1/2+1/4+1/8 = 7/8. Ahora vamos a seguir nuestra caminata de manera infatigable. Con pasos “cansados”, ya que cada uno tiene una zancada que es la mitad del anterior, pero nunca nos vamos a parar. Despidámonos de nuestros familiares porque vamos a hacer un viaje interminable por la carretera real. ¿Hasta dónde lograremos llegar? Si hacemos la misma cuenta de antes, pero en lugar de tres pasos consideramos cuatro, habría que sumarle a 7/8 la amplitud del cuarto paso, que es 1/16. Esta suma da un total de 15/16. ¿Adivinan cuánto suman los cinco primeros pasos? En efecto, 31/32. En general, después de, digamos, n pasos (pónganle a n el valor que quieran) el camino total que habremos recorrido será un cociente, donde el denominador (número de abajo) tendrá el valor “2 elevado a la potencia n”, mientras que el numerador (el que está arriba) será precisamente una unidad más pequeño que el de abajo. Supongo que sabrán que si dividen un número entre otro número más grande, el resultado será menor que la unidad. Luego por mucho que nos empeñemos y dejemos la vida en ello, en nuestro paseo interminable nunca llegaremos a tocar la marca con el número uno. No se despidan pues de su familia, ya que no irán muy lejos.

  Seguro que piensan que la razón de que no atravesemos la marca con el número uno se debe a que los pasos son cada vez más pequeños. Ciertamente esa es una razón, pero no es algo determinante. Les pondré ahora el siguiente ejemplo, aparentemente con la misma filosofía de paseo “cansado”. La diferencia es que ahora los pasos, aunque siguen siendo cada vez más pequeños, no disminuyen de la misma manera. El primero será de amplitud de zancada 1/2 (como antes). Pero el segundo será de amplitud 1/3, el tercero será una zancada de 1/4, el siguiente de 1/5 y así sucesivamente. A pesar de que los pasos se van haciendo cada vez más pequeños, en este paseo nos alejaremos tanto como queramos. Por muy lejana que pongan la meta en nuestra carretera, dicha meta será traspasada con toda seguridad.  Una explicación de este hecho se puede hacer en los siguientes términos:
 

  Después de tres pasos, la distancia recorrida es: 1/2+1/3+1/4. Si consideramos sólo la suma del segundo y del tercer paso, ésta es 1/3+1/4, lo cual es mayor que 1/2.  De hecho 1/2 = 1/4+1/4 y aunque 1/4 es la amplitud del tercer paso, nuestro segundo paso tiene una amplitud mayor ¿recuerdan? (Un tercio de una pizza, de toda la vida es más grande que un cuarto). Así pues, si con el primer paso recorremos una distancia de 1/2 y con los dos restantes una distancia mayor que 1/2, tiene que resultarles evidente que la distancia total recorrida con tres pasos es mayor que 1. Ya hemos sobrepasado la marca con el uno. Aquella que era inalcanzable con el paseo anterior. Traspasar la marca con el 2 nos costará un poco más, pero todo llegará. Vamos a ver dónde estamos después de recorrer 7 pasos. Pues es muy fácil ya que habremos recorrido la siguiente distancia: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8. ¿Cuánto es esto? Habíamos visto antes que los tres primeros sumaban una distancia mayor que 1. Pues bien, mediante la misma técnica podemos ver que los cuatro restantes suman una distancia mayor que 1/2, ya que precisamente 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2 y esta situación sería si esos cuatro pasos tuviesen todos la amplitud del menor. En consecuencia, los 7 primeros pasos suman más que 1,5. Si seguimos haciendo esto, considerando ahora los 15 primeros pasos habremos superado la marca del 2. Después de 31 pasos la marca del 2,5 habrá quedado atrás. Cuando hayamos recorrido 63 pasos la marca con el 3 quedará superada. Así sucesivamente iremos superando todas las marcas. Cada vez nos costará más trabajo superar la marca siguiente (no olvidemos que estamos ante un paseo “cansado”), pero tarde o temprano esa marca quedará atrás.
 

  Así pues, la próxima vez que vayan a iniciar un paseo reflexionen sobre la amplitud de la zancada. Aunque ésta vaya disminuyendo a cada paso, puede ocurrir que siempre estén cerca de casa, o bien que no regresen jamás.