Sucesiones cansadas hasta el límite

Sin duda todos nosotros (sobre todo aquellos que ya hemos pasado de los cuarenta) hemos estudiado en la enseñanza secundaria la definición de límite de una sucesión. Primero nos definieron la sucesión como una fila infinita de números separados por “comas”, que generalmente se denotaban como x₁,x₂,…,x_n,…, uno  tras otro sin que hubiese uno que fuese el último, ya que esa fila continuaba sin terminar jamás. Esto ya tenía cierta complicación para nuestra mente, nada acostumbrada al concepto poco real de infinitud. Pero cuando nos escribían en la pizarra - que por cierto es un objeto en periodo de extinción. No olvidemos que “pizarra” es un tipo de roca con el que se fabricaban las del colegio. Ahora aunque se siguen llamando igual, casi ninguna está fabricada con dicho material. Que contrasentido ¿verdad? Ahora muchas son de un material plástico donde se puede escribir con unos rotuladores que al poco de utilizarlos se les acaba la tinta y a duras penas puede verse lo que se escribe. Otras veces resulta casi imposible borrar lo anteriormente escrito. Incluso recientemente se ha comenzado a hablar de la “pizarra electrónica”- Pero bueno, este es otro tema distinto al que estamos tratando en esta entrada. Decía que si ya nos resultaba complicado el concepto de infinitud, cuando nos ponían en la pizarra la definición de límite de una sucesión prácticamente nadie trataba de comprender aquel trabalenguas. Lo que tocaba era aprenderlo de memoria y recitarlo como quien recita un poema en cualquier lengua muerta de la que nunca hubiese oído hablar. De hecho, yo no entendí perfectamente el concepto de límite hasta que llegué a la Universidad. Sin embargo, creo que huyendo de definiciones escabrosas, me atrevo a intentar hacerles un boceto de la idea que está detrás de dicho concepto.

  Supongamos que estamos en una carretera en pleno desierto. Una carretera de esas que son completamente rectas y que se pierden en el horizonte. Si miramos hacia un lado y hacia otro tan sólo vemos carretera. Hace mucho sol (esto es irrelevante, pero ayuda a entrar en situación). Nosotros estamos encima justo de una marca que pone el número 0. Delante nuestro, a cierta distancia está otra con el número 1, luego otra con el 2, alcanzamos a ver una más con el 3 y a duras penas, a lo lejos vemos una nueva marca con ¿un 4 quizá? Detrás nuestro  más de lo mismo, pero en este caso los números vienen precedidos por una pequeña rayita (un signo menos). Señores, ¡¡ bienvenidos a la recta real !!. Vamos a dar un paso hacia adelante. Será un paso que llegará hasta la marca con el número 1. Un paso de longitud uno. Pero nos hemos cansado un poco y el siguiente paso tendrá una amplitud más pequeña. Digamos que será la mitad del primero. Es decir será de longitud 0.5, o como nos gusta a los matemáticos, 1/2. Nos seguimos cansando y el siguiente paso volverá a tener por longitud la mitad del anterior. Será de longitud 1/4. Así sucesivamente, nos vamos cansando a cada paso y sólo podemos recorrer una distancia que es la mitad de la recorrida en el paso anterior. Pero nunca nos pararemos. No podremos decir en ningún momento que hayamos recorrido con un paso una longitud igual a cero, ya que si en un paso hemos recorrido algo, por pequeño que sea, en el siguiente habremos recorrido la mitad. Y la mitad de “algo” no es cero a menos que ese “algo” ya fuese igual a cero. Sin embargo todos entendemos que en nuestro cansancio los pasos se van haciendo más y más pequeños. Llegarán a ser tan pequeños como se quiera, tan sólo hay que seguir andando. Estamos ante una sucesión donde los x₁,x₂,…,x_n son los tamaños de los pasos. Y esta sucesión tiene límite igual a cero. Además podemos decir que estamos ante una “sucesión cansada” ya que si marcamos con una brocha el lugar donde ponemos el pie en cada uno de los pasos, veremos que las marcas cada vez están más juntas a medida que andamos. Y seguirán estando tan juntas como se quiera. Llegaremos a tener que tirar la brocha y poner la marca con un bolígrafo para que no se confunda con la anterior. Incluso en cierto momento tendremos que utilizar un alfiler manchado en tinta. Algo más tarde ni con un láser evitaremos que las marcas se confundan. Pero entre cada par de marcas habrá siempre algo de distancia. 

  Y no crean ustedes que esto sólo pasa cuando cada paso es menor que el anterior. Volvamos al principio, a la marca con el número cero. Ahora daremos la primera zancada de longitud 1/2.  La segunda será un poco más grande: tendrá longitud 1/2+1/4. La tercera algo mayor: 1/2+1/4+1/8. En la cuarta recorreremos 1/2+1/4+1/8+1/16.  ¿Se dan cuenta de cómo son las cosas en este segundo paseo? Cada paso es un poco mayor que el anterior, pero esta diferencia entre dos pasos consecutivos cada vez se hace más y más pequeña. En cada paso nos superamos, pero ese vigor de superación va disminuyendo. Estamos de nuevo ante una “sucesión cansada”. No olviden que nuestra sucesión es el tamaño de los pasos.

  Hemos dado pues dos paseos mediante sucesiones cansadas. En el primero está muy claro que el límite de la longitud de los pasos es cero, pero ¿cuál es el límite de dicha longitud en el segundo de los paseos? El hecho de que cada paso es mayor que el anterior puede confundirles y hacerles pensar que al cabo de un tiempo estaremos dando pasos gigantescos. Pues créanme que no es así y que la realidad es que en el segundo paseo nunca llegaremos a dar una zancada de longitud 1, a pesar de que nos aproximaremos a esa cifra hasta límites insospechados. Sólo hay que hacer algunas cuentas fáciles. Recuerden que el primer paso tenía longitud 1/2. Haciendo la suma correspondiente al segundo paso, éste tiene longitud 3/4. El tercero será de longitud 7/8 y el siguiente de longitud 15/16. Así sucesivamente la longitud de cada paso será cada vez más grande pero nunca será de longitud 1, ya que en las fracciones que se van construyendo el número de arriba siempre será una unidad inferior al número de abajo. El límite de esta sucesión es 1, como ya habrán deducido ustedes mismos. 

  Si han leído hasta aquí sin desfallecer ante tanto “cansancio”, permítanme que finalice esta entrada del blog con un teorema de los importantes dentro de las matemáticas:

Teorema

En la carretera que hemos denominado “recta real”, toda sucesión cansada posee límite y recíprocamente, toda sucesión que posee límite es una sucesión cansada.

¿No les resulta evidente?  Por cierto, las sucesiones cansadas se las habrán presentado en su adolescencia como “sucesiones de Cauchy”.

Teatralidad Docente

La representación teatral ha sido siempre una de mis grandes aficiones. Ya de niño sentía una gran pasión por representar e imaginar situaciones, supongo que como todos los niños.  Sin embargo en mi caso esta faceta no desapareció al ir cumpliendo años y aún hoy, habiendo dejado hace mucho tiempo la pubertad, me sorprendo a menudo haciendo gestos ante un espejo tratando de reflejar situaciones de alegría, miedo, enfado o tristeza. Creo que una de mis aficiones un tanto frustradas fue el arte dramático.

Recientemente me he inscrito en un taller de teatro que ofrece el ayuntamiento de Oviedo. Esto me permite dar rienda suelta a mi imaginación, junto con otras personas que comparten conmigo esta pasión. Para mí esas dos  horas semanales son como una desconexión total del mundo. Es como una burbuja que puntualmente aparece a mi alrededor todos los Jueves y que supone una descarga de presión y posterior recarga con renovada energía. Seguramente en todo esto resulta crucial la maestría con la que dirige esas sesiones Valentín, el incansable y paciente director del taller. Pero la razón de este post no es precisamente hablar de este taller, sino de la gran analogía que comparten El Teatro y La Docencia, del tipo que sea.

La actividad docente universitaria en una asignatura de las que imparto, yo la veo en cierto modo y salvando las distancias, como una especie de ciclo de representaciones teatrales de un determinado tema. Cada una de las clases es como una pequeña función de aproximadamente una hora de duración. Es como una obra interactiva en la que el actor principal y conductor de la misma, que se constituye en el profesor, debe fomentar la participación del público. La obra no puede ser monocorde, sino que tiene que tener cambios de ritmo que capten la atención del público. Se ha de intercalar el monólogo con la incentivación del público, que ha de sentirse partícipe de la “representación teatral”. El profesor tiene que tener muy bien aprendida la partitura y debe poseer las herramientas necesarias para volver a ella ante la actividad del público, para no dar la sensación de estar en una improvisación total. Y fundamentalmente, el actor, que conoce el final de la obra así como el camino hacia el mismo, no debe demostrar al público dicho conocimiento postrero y ha de entusiasmarse ante los resultados obtenidos como si fuese la primera vez que los ve. Los grandes actores deben actuar en cada uno de los pases de la obra de una manera casi idéntica, siempre con cierta flexibilidad para salir de situaciones imprevistas, a pesar de que ya la hayan representado más de un centenar de veces. Nótese que el público cambia cada día y los conocimientos iniciales del mismo son siempre parecidos. Un volumen de voz suficientemente alto, los cambios de ritmo y las estrategias para resaltar las situaciones con mayor vehemencia que en la vida real son la base para que el mensaje llegue al destinatario. Es muy posible que el argumento de la obra no sea inicialmente interesante para la audiencia, pero creo que con una buena puesta en escena puede que se genere cierto interés, a priori ausente. Sin embargo con una representación tipo monólogo, uniforme y con una tonalidad somnífera, se conseguirá que el público del teatro sea más escaso en cada una de las funciones.

Hace algo más de dos años y en Lleida, durante el transcurso del Congreso Internacional de Docencia Universitaria (CIDUI 2008), asistí a una conferencia que impartió el profesor Claudi Alsina, matemático y Catedrático de la Universidad Politécnica de Cataluña. Aunque parezca increíble, teniendo en cuenta la gran cantidad de información que se puede encontrar en internet sobre el profesor Alsina, yo nunca había oído hablar de él. Para mí esa conferencia fue sin duda una de las más interesantes a las que he asistido. El tema era la docencia en el proceso de Bolonia (tema muy actual en nuestros días) y planteaba una visión un tanto futurista de los resultados de su implantación. Fue una “representación teatral” verdaderamente magistral. El profesor Alsina posee, a mi juicio, todas las virtudes teatrales de un excelente docente y si existiesen los premios “Max” de la docencia, sin lugar a dudas la estatuilla que simbolizase el galardón, debería tener el "rechoncho" perfil del profesor Alsina.

Topología asesina

En mis tiempos de estudiante en la Universidad de Cantabria, una pintada en la fachada principal de la vieja Escuela de Caminos rezaba: "Topología Asesina". Aunque yo estudiaba en la Facultad de Ciencias, no me resultaba desapercibida dicha pintada cada vez que pasaba por delante de ella. Su  mensaje me acompañó durante toda la carrera y a medida que me iba adentrando en los conceptos propios de la Topología, me daba cuenta de la tremenda desesperación que debió de sentir el autor de semejante expresión mural. Y es que la Topología es una de las materias más áridas y de conceptos más complejos y abstractos de la Matemática. La Topología no te deja indiferente: o la amas o te desquicia. Afortunadamente a mi me entusiasmó, pero eso no significa que no comprendiese el sufrimiento de aquellos a los que les supuso una auténtica maldición. Pero ¿Qué es la Topología? Trataré de explicarlo de  la manera más informal y atractiva posible.

  La Topología es una rama de las Matemáticas que de alguna forma estudia los objetos cuyas propiedades permanecen inalteradas mediante transformaciones continuas (ya me he pasado un poco ¿verdad?). Imaginen ustedes un objeto cotidiano: por ejemplo un plato. Pero imagínenselo de chicle, o mejor todavía, de masa de pizza. Además supongan que esa masa se puede estirar hasta límites insospechados. Ahora comiencen a deformarla cuanto quieran, estirando encogiendo y retorciendo; pero está prohibido romperla, agujerearla o pegar lo que estaba separado. De esta forma a partir de ese plato "chicloso" ustedes podrán hacer otro mucho más grande. Pero también podrían moldear un sombrero de vaquero, uno de copa ó incluso un gorro nazareno. Igualmente estaría permitido construir una moneda con sus correspondientes relieves e incluso la silueta de cualquier automóvil, como si estuviese tapado con esa masa a modo de funda. Todos esos objetos son "topológicamente equivalentes". Sin embargo, no estaría permitido hacer un anillo ni un collar, pues para eso habría que agujerear el plato. A modo de broma se dice que un Topólogo es incapaz de distinguir una taza de una rosquilla. La razón es que tanto la taza como la rosquilla tienen un agujero (en el caso de la taza corresponde al asa). En consecuencia partiendo de la taza y agrandando el asa se puede llegar a obtener la rosquilla. ¿les empieza esto a parecer cosa de locos?. Pues déjenme que les diga que a la mayoría de ustedes les habrá sido de utilidad la topología sin ni siquiera saberlo. No me digan que nunca han consultado un mapa de metro o de una red de autobuses. Convendrán conmigo en que en dichos mapas no se refleja  la forma exacta del camino que siguen las líneas. Tampoco sus longitudes siguen una misma escala, ni las distancias entre las diferentes estaciones son fieles a la realidad. En definitva, dichos planos no son geométricamente exactos. Sin embargo son de gran utilidad, ya que proporcionan la "información topológica" necesaria para poder movernos por la ciudad y llegar a nuestro destino sin perdernos. A partir de ellos podríamos construir, deformándolos topológicamente, las lineas de metro a tamaño real, con sus correspondientes estaciones marcadas. Lo mismo ocurre cuando vemos cualquier mapa de nuestro sistema solar, con el sol y todos los planetas. Si dichos mapas estuviesen hechos a escala seguramente la tierra debería ser representada como la cabeza de un alfiler mientras que el sol sería como una pelota de tenis. Además, en cuanto a las distancias, si en el mapa la tierra y la luna estuviesen separadas por un par de centímetros, la separación entra la tierra y el sol debería ser de unos 7 metros y medio. Como se puede observar, también en este caso resulta de mayor utilidad la información topológica de nuestro sistema solar, ignorando escalas. 

  Espero que estas argumentaciones sirvan para que ustedes, señores del jurado, otorguen el veredicto de inocente de asesinato, a mi defendida Topología.

Existes y Para todos

Dos de las cosas que más atemorizan a mis alumnos de Informática son los símbolos matemáticos de “existencia” y el famoso “para todo”, que se representan respectivamente mediante esos caracteres tan raros  que son una E mirando hacia el otro lado y una A patas arriba (∃, ∀).  A esos símbolos se les denomina “cuantificadores”, siendo el primero de ellos el cuantificador existencial y el segundo el cuantificador universal.  La razón de esa denominación es bastante clara. Ambos conceptos cuantifican el número de elementos de un conjunto que cumplen una determinada propiedad: “Al menos uno”, en el caso del cuantificador existencial y “todos ellos”, en el caso del cuantificador universal. Pongamos un ejemplo con una situación cotidiana: Supongamos que estamos en una sala de cine. Si no está llena y consideramos el conjunto de todas las butacas de la sala, podremos decir que “existe alguna butaca que está vacía”. Sin embargo si el cine estuviese lleno diríamos que “para toda butaca, ésta está ocupada.” Ahora bien, en cuanto se vacíe el cine podremos decir sin mentir: “para toda butaca, ésta está vacía”; y también será cierto que: “existe alguna butaca que está vacía”. Curioso ¿verdad? Si se reflexiona un poco sobre ello, se observará que tiene su “lógica”. Cuando el cine tiene butacas (como es de suponer) y se dice que existe una butaca que está vacía no significa necesariamente que sea la única, sino que al menos hay una butaca sin ocupar. Es decir, podría ocurrir que hubiese más de una, o incluso todas, y la afirmación seguiría siendo correcta. Sin embargo si se asegura que para toda butaca, ésta se encuentra vacía, eso es algo más estricto, pues la única situación que hace cierta la afirmación es que el cine esté completamente vacío.

  Por lo tanto, cuando el conjunto no es vacío (algún día hablaré sobre este curioso concepto), el cumplimiento de una propiedad por todos los elementos del mismo (cuantificación universal) también hace cierto el cumplimiento de dicha propiedad por algún elemento del conjunto (cuantificación existencial), mientras que no sucede lo mismo al contrario. La existencia de un elemento que cumpla la propiedad no significa necesariamente que todos los elementos del conjunto la cumplan, aunque tampoco lo impide. Pues bien éstas son algunas de las peculiaridades de nuestros dos “amigos cuantificadores”.

  Como decía al principio de esta entrada, si los “existes” y “para todos” producen temor vistos por separado, la situación se torna extrema cuando ambos cuantificadores aparecen juntos. Además, en ese caso el orden de aparición es muy importante  para determinar el significado de la afirmación. No es lo mismo: "∀ X ∃ Y “ que “∃ Y ∀" X”. En el primer caso Y tiene una dependencia de X, es decir que cada valor de la X posee un valor para la Y, pudiendo ocurrir que diferentes valores para la X tengan asociados diferentes valores para la Y. Sin embargo en el segundo caso el valor de la Y es el mismo para todos los valores de la X. Estos diferentes significados dependiendo del orden de declaración de los cuantificadores también se dan en situaciones cotidianas. Veamos algunos ejemplos:

1.   No es lo mismo: “Para todos los coches existe un conductor” que “Existe un conductor para todos los coches "
2. No es lo mismo: “Para todos los hijos existe un padre” que “Existe un padre para todos los hijos”

Y como les dice a sus alumnos de Álgebra una colega profesora:

     No es lo mismo: "Para todos vosotros existe un aprobado" que " Existe un aprobado para todos vosotros"

Publicidad delictiva

Aún tengo muy vivo el recuerdo de un anuncio publicitario de los tiempos de mi infancia, allá por los años 70. Seguramente alguno de ustedes recordará el anuncio del bolígrafo Bic, con su célebre canción de “Bic naranja, Bic cristal; dos escrituras a elegir…..” Para mí era un anuncio verdaderamente magistral. No se podía decir más de un bolígrafo en tan sólo un minuto. Una prueba tangible de que sin duda era una estupenda idea publicitaria fue la cantidad de tiempo que estuvo presente en las televisiones españolas. No diré que hoy en día la publicidad es mucho peor, pues no quiero caer en el tópico presente en las personas de generaciones anteriores que añorando tiempos pasados argumentan que en nuestros días muchas cosas van a peor. Está claro que hoy en día, con los medios de los que se dispone, la publicidad es de mucha mayor calidad visual. Otra cosa son las ideas, que pueden ser igual de buenas o igual de malas que hace 30 ó 40 años. Sin duda una gran idea con los medios actuales quedará amplificada; pero es posible que también suceda lo mismo con una idea mediocre.

  Precisamente debido al avance en los medios audiovisuales, que trajo como consecuencia anuncios de juguetes en los que éstos se movían solos como si tuviesen vida propia, se reguló la emisión de este tipo de publicidad de manera que se pusiese alguna especie de aviso en el anuncio que impidiese a los infantes hacerse una idea equivocada de lo que estaban viendo. Bueno, teniendo en cuenta que muchos niños de la audiencia no sabrían leer, el aviso era más bien para los padres. La cuestión es que la gente no adquiriese expectativas equivocadas en cuanto al funcionamiento del producto, debido al despliegue de medios mostrados en la emisión publicitaria.

  Sin embargo en nuestros días el hecho de que publicitariamente un juguete parezca tener vida propia; o bien que en el anuncio de un limpiador aparezcan cocinas con una cantidad de suciedad como nunca se ha visto, con el agravante de que nos hacen ver que dicha cocina acaba de ser limpiada con otro limpiador distinto al de la marca anunciante; o incluso el que nos presenten detergentes en los que la ropa ya sale planchada de la lavadora, no tienen la menor importancia y resultan anécdotas en comparación con otra práctica publicitaria que a mi juicio no sólo resulta engañosa sino que entra en lo delictivo. Si no me creen, reflexionen sobre los ejemplos que les pongo a continuación, los cuales aparecen cada día en nuestras televisiones y carteles publicitarios. Después juzguen ustedes mismos:

1. El precio de un viaje en avión es de 50 euros por persona, pero al ir a pagar se dan cuenta de que en el anuncio publicitario no se incluyen gastos de aumento del precio de combustible del avión, gasto por gestión de billete, tarifa por maleta facturada, seguro obligatorio para el pasajero y demás cuestiones que aumentan en más de un 200% el precio inicial.
2. Deciden comprar un automóvil porque  lo pueden financiar fácilmente a 5 años con cuotas de 200 euros. Lo que averiguan posteriormente es que tendrán que satisfacer 15 cuotas por año, cuando ustedes pensaban que serían 12 (una por mes). Además, después de los 5 años de cuotas tendrán que pagar una cantidad final de 12000 euros.
3. Observan que pueden viajar a Nueva York (ida y vuelta) “desde 300 euros”. Al ir a sacar el billete les dicen que para obtener esa oferta tienen que sacar el billete con 5 meses de antelación, pasar al menos dos fines de semana en Nueva York y sólo es válido para estancias durante el mes de Febrero.
4. Un hotel de gran lujo les ofrece habitaciones dobles al increíble precio de 50 euros la noche. Cuando se deciden a aprovechar la oferta descubren que ésta no incluye fines de semana ni festivos o vísperas de festivos. Además, están obligados a hacer un gasto en el hotel de al menos otros 50 euros por persona y día de estancia.
5. Una compañía de seguros les ofrece increíbles coberturas. Lo que les ha hecho decantarse por ella para asegurar su automóvil es que tiene gratis la asistencia en carretera y sobre todo que les proporcionarán un coche de substitución si la avería necesita más de 24 horas para su reparación. Al querer hacer uso del seguro en un percance se percatan de que la asistencia en carretera es a partir del km 100 a contabilizar desde su lugar de empadronamiento, con lo que no incluye los trayectos cotidianos que usted hace. Además, respecto a la posibilidad de obtener un coche de substitución, las 24 horas están referidas a “horas de mano de obra de taller”.  Por supuesto no cuenta el tiempo que el coche está en espera de ser reparado. Además prácticamente ninguna avería requiere tal cantidad de tiempo neto de mano de obra.

  Obviamente, toda esta información estaba disponible escondida y a letra pequeña en el anuncio publicitario o bien había pasado a velocidad vertiginosa por la parte inferior de su televisión. Parece que con estas maniobras ya se sitúan dentro de la legalidad, aunque usted necesite mucho tiempo y un microscopio para leer las condiciones o tenga que grabar el anuncio y estudiarlo fotograma a fotograma para poder leer el pie de imagen. Cualquier día nos presentarán un producto prácticamente gratuito y con unas propiedades maravillosas. O bien un viaje alrededor del mundo, alojándonos en los mejores hoteles por un precio irrisorio. Incluso nos podrán ofrecer un estupendo coche a un precio de 3000 euros a pagar en cómodos plazos con el seguro, la gasolina y el mantenimiento gratuitos de por vida. Bastará con que en todos los casos, pongan un asterisco y un pie de anuncio que diga: “Todo lo que se ha dicho publicitariamente respecto a este asunto es completamente falso.”

Notación matemática: ¿Enmascara lo fácil o clarifica lo difícil?

Frecuentemente, al enunciar o presentar alguna propiedad en términos de notación matemática, mis alumnos ponen cara de no entender lo que quiero decirles. Cuando, tras no pocos esfuerzos, logro hacer que lo entiendan, en alguna ocasión me han comentado que la clave de su falta de entendimiento es la propia notación científica.

   Recientemente, uno de los trabajos de investigación de los que soy coautor fue criticado por un revisor, que debía decidir sobre lo apropiado del trabajo para su presentación en un congreso, argumentando que mediante la notación matemática empleada estábamos enmascarando conceptos y propiedades sencillas. Esta situación me preocupó mucho, ya que el hecho de que un colega, que se supone preparado para entender la notación científica, argumente cosas de ese estilo denotando su falta de dominio de la misma, es mucho más grave. Tras reflexionar sobre este par de sucesos he llegado a la conclusión de que en muchas ocasiones no se le da a la notación matemática la importancia que ésta merece. Cuando se expresa algo en lenguaje o notación matemática, el objetivo es que todas las personas que lean esas expresiones se formen exáctamente la misma idea; que dicha idea no posea ningún punto de ambigüedad y que coincida con la que se pretendío expresar por parte del autor. Está claro que con el lenguaje natural mediante el que nos expresamos cotidianamente no se puede conseguir ese objetivo sin construir grandes  y a veces tediosos párrafos explicativos. La notación matemática es exacta, expresa cosas de manera concisa  y es absolutamente universal. Sin embargo, cuando no se domina resulta casi ininteligible, como le pasa a cualquiera de los lenguajes: Si yo no se japonés, da igual que me expliquen en japonés la cosa más sencilla, que no la voy a entender. Esa falta de dominio es la causante de que cuando se expresa mediante notación matemática alguna idea ya conocida por la audiencia, pueda parecerle a alguno que se están explicando cosas sencillas mediante un lenguaje enrevesado. Nada más lejos de la realidad, ya que la notación matemática siempre resulta clarificadora. Déjenme que intente demostrárselo.

  Tomemos como ejemplo una propiedad que todos conocen, relacionada con elevar un número al cuadrado, es decir, multiplicarlo por sí mismo. Imaginen que les digo que si elevamos al cuadrado el número 2 el resultado es 4 (que es un número positivo). Si elevamos al cuadrado el 3, el resultado es 9 (también positivo). De hecho si elevamos al cuadrado cualquier número mayor que cero el resultado siempre es un número positivo. Además dicho cuadrado siempre existe. Así pues podemos decir que todo número mayor que cero posee la propiedad de que al elevarlo al cuadrado el resultado es un número positivo. ¿y qué  pasa con los números negativos? Pues lo que pasa es que la operación de elevarlos al cuadrado tambíen da como resultado un número positivo. Y además, de propina podemos decir que ese número positivo, resultado de elevar al cuadrado un número negativo, es el mismo número que nos salía al elevar al cuadrado el correspondiente número positivo. Llegados a este punto seguramente es conveniente poner un ejemplo clarificador: Lo que se quiere decir es que si elevamos al cuadrado por ejemplo el 4, el resultado es 16. Y al elevar al cuadrado el -4, el resultado es también 16. Si han conseguido leer hasta aquí sin perderse, seguramente habrán logrado entender lo que se ha querido expresar. Es posible que el hecho de que esta propiedad ya la conociesen les haya supuesto una gran ventaja a la hora de entenderla. Pero ¿se imaginan a alguien que no conozca la mencionada propiedad leyendo este párrafo?. ¿Ustedes creen que entendería lo que se ha querido expresar sin ningún género ni atisbo de duda?. Es posible que sí. En cualquier caso si se domina la notación matemática esta propiedad puede expresarse de manera maravillosamente escueta e inequívoca de la siguiente forma:

Para todo X>0   Existe  Y>0  tal que X²=(-X)²=Y

Ahora quédense con la que les parezca más sencilla. Para mí la elección no ofrece dudas.

Axiomas, Teoremas y juegos de Lego

Al poco de comenzar mis estudios de la licenciatura de Matemáticas y en una de las  habituales tertulias de café en una habitación del Colegio Mayor, un amigo que estudiaba Ingeniería de Caminos me preguntó cuál era la labor fundamental de un matemático. Yo le contesté que los matemáticos demostraban Teoremas. Y mientras le respondía, soñaba con demostrar mi propio Teorema. En aquella época yo pensaba que todo Teorema, una vez demostrado, supondría un avance crucial para la humanidad. Estaba convencido de que  todos los Teoremas estaban en algún lugar, esperando que alguien los demostrase y en ese momento un estruendo de conocimiento viajaría a gran velocidad por todo el planeta. Yo, en mi inocencia, pensaba sólo en los Teoremas con mayúscula. Años más tarde, bastante antes de demostrar mi primer teorema, comprendí que la mayor parte de ellos tienen una utilidad muy local y un ámbito muy pequeño que generalmente no trasciende más allá del grupo de matemáticos que estén investigando en el tema en cuestión. Sólo algunas veces se enuncian y demuestran Teoremas de auténtico renombre y que son verdaderos iconos en una determinada Teoría. Además, la mayor parte de las veces los teoremas son demostrados por los mismos investigadores que los enuncian. Incluso es muy posible que la demostración preceda al enunciado. La razón es que los teoremas no son más que pequeñas figuras construidas dentro de una Teoría o un tema central de investigación científica y su demostración significa un paso más hacia un objetivo más ambicioso o una consecuencia un tanto marginal dentro de dicha teoría. ¡Enunciar y demostrar teoremas es como el juego del Lego!. Voy a explicárselo:

  Cuando se compra un juego de Lego, en la caja lo que se encuentran son una serie de piezas de distintas formas y tamaños. Estas piezas son indivisibles y están ahí porque sí. Bueno, digamos que nos son dadas. Además, en algunos casos también hay algunas pequeñas herramientas que no son piezas pero que ayudan a combinar esas piezas básicas. Piensen en una pequeña llave para tuercas o un pequeño destornillador. Pues bien, en matemáticas esas piezas básicas constituyen los axiomas. No hay que demostrarlos, están ahí por definición. Vienen en el lote al comprar el juego. Posteriormente, a partir de esas piezas se van construyendo piezas más grandes, habitualmente con la ayuda de las herramientas para tal efecto. De nuevo combinando estas piezas más grandes construidas a partir de las piezas básicas, se van dando forma a figuras que tienen una entidad propia. Estas figuras son los teoremas. Podríamos decir que la propia forma de la figura constituye el enunciado y la labor de construcción de la misma, paso a paso, usando los axiomas, combinándolos adecuadamente y de acuerdo a las reglas de combinación determinadas por las herramientas, son la verdadera demostración del teorema. Posteriormente estas figuras, en el mejor de los casos y siempre que sean atractivas, podrían integrarse y ser de utilidad dentro una entidad más grande constituida por multitud de figuras. Estas entidades son las teorías. Imaginen ustedes que tienen ante sí un conjunto de axiomas del juego de Lego, que proceden a combinar adecuadamente para construir un pequeño edificio con forma de gasolinera. Acaban ustedes de enunciar y demostrar un auténtico teorema, que integrado en la teoría "Ciudad" tiene una importante función en el sostenimiento de la misma. Otros avanzados jugadores conseguirán demostrar teoremas de gran importancia para la teoría "Ciudad". Por ejemplo el teorema "Ayuntamiento" o teoremas "Hoteles" o incluso teoremas tipo "Autobuses". Algunos teoremas no tedrán gran trascendencia o aplicabilidad dentro de la teoría. Constituirán simples casas de vivienda que posiblemente sean relleno, pero que juntas darán forma a la Ciudad. Y ésta irá creciendo sin parar con teoremas de nueva creación y nuevas funcionalidades. Y así, los matemáticos vamos contribuyendo en mayor o menor medida al desarrollo de diferentes teorías, de la misma forma que los niños mediante el juego de Lego o uno de los antiguos mecanos construyen figuras, a veces que sólo ellos entienden, y las incorporan a sus juegos e historias fruto de su imaginación. Bajo esta perspectiva ¿Quién dice que las matemáticas no son divertidas?