domingo, 7 de noviembre de 2010

Existes y Para todos

Dos de las cosas que más atemorizan a mis alumnos de Informática son los símbolos matemáticos de “existencia” y el famoso “para todo”, que se representan respectivamente mediante esos caracteres tan raros  que son una E mirando hacia el otro lado y una A patas arriba (∃, ∀).  A esos símbolos se les denomina “cuantificadores”, siendo el primero de ellos el cuantificador existencial y el segundo el cuantificador universal.  La razón de esa denominación es bastante clara. Ambos conceptos cuantifican el número de elementos de un conjunto que cumplen una determinada propiedad: “Al menos uno”, en el caso del cuantificador existencial y “todos ellos”, en el caso del cuantificador universal. Pongamos un ejemplo con una situación cotidiana: Supongamos que estamos en una sala de cine. Si no está llena y consideramos el conjunto de todas las butacas de la sala, podremos decir que “existe alguna butaca que está vacía”. Sin embargo si el cine estuviese lleno diríamos que “para toda butaca, ésta está ocupada.” Ahora bien, en cuanto se vacíe el cine podremos decir sin mentir: “para toda butaca, ésta está vacía”; y también será cierto que: “existe alguna butaca que está vacía”. Curioso ¿verdad? Si se reflexiona un poco sobre ello, se observará que tiene su “lógica”. Cuando el cine tiene butacas (como es de suponer) y se dice que existe una butaca que está vacía no significa necesariamente que sea la única, sino que al menos hay una butaca sin ocupar. Es decir, podría ocurrir que hubiese más de una, o incluso todas, y la afirmación seguiría siendo correcta. Sin embargo si se asegura que para toda butaca, ésta se encuentra vacía, eso es algo más estricto, pues la única situación que hace cierta la afirmación es que el cine esté completamente vacío.
  Por lo tanto, cuando el conjunto no es vacío (algún día hablaré sobre este curioso concepto), el cumplimiento de una propiedad por todos los elementos del mismo (cuantificación universal) también hace cierto el cumplimiento de dicha propiedad por algún elemento del conjunto (cuantificación existencial), mientras que no sucede lo mismo al contrario. La existencia de un elemento que cumpla la propiedad no significa necesariamente que todos los elementos del conjunto la cumplan, aunque tampoco lo impide. Pues bien éstas son algunas de las peculiaridades de nuestros dos “amigos cuantificadores”.
  Como decía al principio de esta entrada, si los “existes” y “para todos” producen temor vistos por separado, la situación se torna extrema cuando ambos cuantificadores aparecen juntos. Además, en ese caso el orden de aparición es muy importante  para determinar el significado de la afirmación. No es lo mismo: " X Y “ que “∃ Y" X”. En el primer caso Y tiene una dependencia de X, es decir que cada valor de la X posee un valor para la Y, pudiendo ocurrir que diferentes valores para la X tengan asociados diferentes valores para la Y. Sin embargo en el segundo caso el valor de la Y es el mismo para todos los valores de la X. Estos diferentes significados dependiendo del orden de declaración de los cuantificadores también se dan en situaciones cotidianas. Veamos algunos ejemplos:
  1.   No es lo mismo: “Para todos los coches existe un conductor” que “Existe un conductor para todos los coches "
  2. No es lo mismo: “Para todos los hijos existe un padre” que “Existe un padre para todos los hijos”
Y como les dice a sus alumnos de Álgebra una colega profesora:
     No es lo mismo: "Para todos vosotros existe un aprobado" que " Existe un aprobado para todos vosotros"

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