Sucesiones cansadas hasta el límite

Sin duda todos nosotros (sobre todo aquellos que ya hemos pasado de los cuarenta) hemos estudiado en la enseñanza secundaria la definición de límite de una sucesión. Primero nos definieron la sucesión como una fila infinita de números separados por “comas”, que generalmente se denotaban como x₁,x₂,…,x_n,…, uno  tras otro sin que hubiese uno que fuese el último, ya que esa fila continuaba sin terminar jamás. Esto ya tenía cierta complicación para nuestra mente, nada acostumbrada al concepto poco real de infinitud. Pero cuando nos escribían en la pizarra - que por cierto es un objeto en periodo de extinción. No olvidemos que “pizarra” es un tipo de roca con el que se fabricaban las del colegio. Ahora aunque se siguen llamando igual, casi ninguna está fabricada con dicho material. Que contrasentido ¿verdad? Ahora muchas son de un material plástico donde se puede escribir con unos rotuladores que al poco de utilizarlos se les acaba la tinta y a duras penas puede verse lo que se escribe. Otras veces resulta casi imposible borrar lo anteriormente escrito. Incluso recientemente se ha comenzado a hablar de la “pizarra electrónica”- Pero bueno, este es otro tema distinto al que estamos tratando en esta entrada. Decía que si ya nos resultaba complicado el concepto de infinitud, cuando nos ponían en la pizarra la definición de límite de una sucesión prácticamente nadie trataba de comprender aquel trabalenguas. Lo que tocaba era aprenderlo de memoria y recitarlo como quien recita un poema en cualquier lengua muerta de la que nunca hubiese oído hablar. De hecho, yo no entendí perfectamente el concepto de límite hasta que llegué a la Universidad. Sin embargo, creo que huyendo de definiciones escabrosas, me atrevo a intentar hacerles un boceto de la idea que está detrás de dicho concepto.

  Supongamos que estamos en una carretera en pleno desierto. Una carretera de esas que son completamente rectas y que se pierden en el horizonte. Si miramos hacia un lado y hacia otro tan sólo vemos carretera. Hace mucho sol (esto es irrelevante, pero ayuda a entrar en situación). Nosotros estamos encima justo de una marca que pone el número 0. Delante nuestro, a cierta distancia está otra con el número 1, luego otra con el 2, alcanzamos a ver una más con el 3 y a duras penas, a lo lejos vemos una nueva marca con ¿un 4 quizá? Detrás nuestro  más de lo mismo, pero en este caso los números vienen precedidos por una pequeña rayita (un signo menos). Señores, ¡¡ bienvenidos a la recta real !!. Vamos a dar un paso hacia adelante. Será un paso que llegará hasta la marca con el número 1. Un paso de longitud uno. Pero nos hemos cansado un poco y el siguiente paso tendrá una amplitud más pequeña. Digamos que será la mitad del primero. Es decir será de longitud 0.5, o como nos gusta a los matemáticos, 1/2. Nos seguimos cansando y el siguiente paso volverá a tener por longitud la mitad del anterior. Será de longitud 1/4. Así sucesivamente, nos vamos cansando a cada paso y sólo podemos recorrer una distancia que es la mitad de la recorrida en el paso anterior. Pero nunca nos pararemos. No podremos decir en ningún momento que hayamos recorrido con un paso una longitud igual a cero, ya que si en un paso hemos recorrido algo, por pequeño que sea, en el siguiente habremos recorrido la mitad. Y la mitad de “algo” no es cero a menos que ese “algo” ya fuese igual a cero. Sin embargo todos entendemos que en nuestro cansancio los pasos se van haciendo más y más pequeños. Llegarán a ser tan pequeños como se quiera, tan sólo hay que seguir andando. Estamos ante una sucesión donde los x₁,x₂,…,x_n son los tamaños de los pasos. Y esta sucesión tiene límite igual a cero. Además podemos decir que estamos ante una “sucesión cansada” ya que si marcamos con una brocha el lugar donde ponemos el pie en cada uno de los pasos, veremos que las marcas cada vez están más juntas a medida que andamos. Y seguirán estando tan juntas como se quiera. Llegaremos a tener que tirar la brocha y poner la marca con un bolígrafo para que no se confunda con la anterior. Incluso en cierto momento tendremos que utilizar un alfiler manchado en tinta. Algo más tarde ni con un láser evitaremos que las marcas se confundan. Pero entre cada par de marcas habrá siempre algo de distancia. 

  Y no crean ustedes que esto sólo pasa cuando cada paso es menor que el anterior. Volvamos al principio, a la marca con el número cero. Ahora daremos la primera zancada de longitud 1/2.  La segunda será un poco más grande: tendrá longitud 1/2+1/4. La tercera algo mayor: 1/2+1/4+1/8. En la cuarta recorreremos 1/2+1/4+1/8+1/16.  ¿Se dan cuenta de cómo son las cosas en este segundo paseo? Cada paso es un poco mayor que el anterior, pero esta diferencia entre dos pasos consecutivos cada vez se hace más y más pequeña. En cada paso nos superamos, pero ese vigor de superación va disminuyendo. Estamos de nuevo ante una “sucesión cansada”. No olviden que nuestra sucesión es el tamaño de los pasos.

  Hemos dado pues dos paseos mediante sucesiones cansadas. En el primero está muy claro que el límite de la longitud de los pasos es cero, pero ¿cuál es el límite de dicha longitud en el segundo de los paseos? El hecho de que cada paso es mayor que el anterior puede confundirles y hacerles pensar que al cabo de un tiempo estaremos dando pasos gigantescos. Pues créanme que no es así y que la realidad es que en el segundo paseo nunca llegaremos a dar una zancada de longitud 1, a pesar de que nos aproximaremos a esa cifra hasta límites insospechados. Sólo hay que hacer algunas cuentas fáciles. Recuerden que el primer paso tenía longitud 1/2. Haciendo la suma correspondiente al segundo paso, éste tiene longitud 3/4. El tercero será de longitud 7/8 y el siguiente de longitud 15/16. Así sucesivamente la longitud de cada paso será cada vez más grande pero nunca será de longitud 1, ya que en las fracciones que se van construyendo el número de arriba siempre será una unidad inferior al número de abajo. El límite de esta sucesión es 1, como ya habrán deducido ustedes mismos. 

  Si han leído hasta aquí sin desfallecer ante tanto “cansancio”, permítanme que finalice esta entrada del blog con un teorema de los importantes dentro de las matemáticas:

Teorema

En la carretera que hemos denominado “recta real”, toda sucesión cansada posee límite y recíprocamente, toda sucesión que posee límite es una sucesión cansada.

¿No les resulta evidente?  Por cierto, las sucesiones cansadas se las habrán presentado en su adolescencia como “sucesiones de Cauchy”.