sábado, 22 de enero de 2011

Caminata infatigable vs. Meta inalcanzable

Como ya hemos aprendido a dar pasos por nuestra carretera “recta real”, vamos ahora a tratar de contabilizar la distancia recorrida o longitud total del paseo. Supongo que muchos de ustedes pensarán que si comenzásemos a andar y nunca nos parásemos llegaríamos a cualquier parte, por lejana que estuviese. Sólo sería cuestión de tiempo. Es este un hecho bastante razonable y seguramente todos coincidirán en que es verdad. ¿Qué pensarían si les dijese que existen metas inalcanzables por mucho tiempo que estemos andando? De hecho esas metas no están muy lejanas precisamente. Voy a demostrarles que aunque estuviésemos andando hasta el fin de los tiempos (y mucho más), en nuestra carretera real nunca llegaríamos a traspasar la marca que tiene el número 1. Veamos:

  Nos encontramos de nuevo sobre la marca con el número cero. ¿Recuerdan la primera sucesión “cansada” de la entrada anterior del blog? ¡Sí hombre!; aquella en la que cada paso era la mitad del paso anterior. Supongamos que damos el primer paso y tan sólo llegamos a la marca 1/2; el segundo paso será de amplitud 1/4; el tercero de amplitud 1/8. Es decir, cada paso será de amplitud la mitad del paso anterior. ¿Les suena esto? ¿Cuál sería la distancia recorrida en estos tres primeros pasos? Muy sencillo: tan sólo hay que hacer la suma de las amplitudes. Es decir: 1/2+1/4+1/8 = 7/8. Ahora vamos a seguir nuestra caminata de manera infatigable. Con pasos “cansados”, ya que cada uno tiene una zancada que es la mitad del anterior, pero nunca nos vamos a parar. Despidámonos de nuestros familiares porque vamos a hacer un viaje interminable por la carretera real. ¿Hasta dónde lograremos llegar? Si hacemos la misma cuenta de antes, pero en lugar de tres pasos consideramos cuatro, habría que sumarle a 7/8 la amplitud del cuarto paso, que es 1/16. Esta suma da un total de 15/16. ¿Adivinan cuánto suman los cinco primeros pasos? En efecto, 31/32. En general, después de, digamos, n pasos (pónganle a n el valor que quieran) el camino total que habremos recorrido será un cociente, donde el denominador (número de abajo) tendrá el valor “2 elevado a la potencia n”, mientras que el numerador (el que está arriba) será precisamente una unidad más pequeño que el de abajo. Supongo que sabrán que si dividen un número entre otro número más grande, el resultado será menor que la unidad. Luego por mucho que nos empeñemos y dejemos la vida en ello, en nuestro paseo interminable nunca llegaremos a tocar la marca con el número uno. No se despidan pues de su familia, ya que no irán muy lejos.
  Seguro que piensan que la razón de que no atravesemos la marca con el número uno se debe a que los pasos son cada vez más pequeños. Ciertamente esa es una razón, pero no es algo determinante. Les pondré ahora el siguiente ejemplo, aparentemente con la misma filosofía de paseo “cansado”. La diferencia es que ahora los pasos, aunque siguen siendo cada vez más pequeños, no disminuyen de la misma manera. El primero será de amplitud de zancada 1/2 (como antes). Pero el segundo será de amplitud 1/3, el tercero será una zancada de 1/4, el siguiente de 1/5 y así sucesivamente. A pesar de que los pasos se van haciendo cada vez más pequeños, en este paseo nos alejaremos tanto como queramos. Por muy lejana que pongan la meta en nuestra carretera, dicha meta será traspasada con toda seguridad.  Una explicación de este hecho se puede hacer en los siguientes términos:
 
  Después de tres pasos, la distancia recorrida es: 1/2+1/3+1/4. Si consideramos sólo la suma del segundo y del tercer paso, ésta es 1/3+1/4, lo cual es mayor que 1/2.  De hecho 1/2 = 1/4+1/4 y aunque 1/4 es la amplitud del tercer paso, nuestro segundo paso tiene una amplitud mayor ¿recuerdan? (Un tercio de una pizza, de toda la vida es más grande que un cuarto). Así pues, si con el primer paso recorremos una distancia de 1/2 y con los dos restantes una distancia mayor que 1/2, tiene que resultarles evidente que la distancia total recorrida con tres pasos es mayor que 1. Ya hemos sobrepasado la marca con el uno. Aquella que era inalcanzable con el paseo anterior. Traspasar la marca con el 2 nos costará un poco más, pero todo llegará. Vamos a ver dónde estamos después de recorrer 7 pasos. Pues es muy fácil ya que habremos recorrido la siguiente distancia: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8. ¿Cuánto es esto? Habíamos visto antes que los tres primeros sumaban una distancia mayor que 1. Pues bien, mediante la misma técnica podemos ver que los cuatro restantes suman una distancia mayor que 1/2, ya que precisamente 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2 y esta situación sería si esos cuatro pasos tuviesen todos la amplitud del menor. En consecuencia, los 7 primeros pasos suman más que 1,5. Si seguimos haciendo esto, considerando ahora los 15 primeros pasos habremos superado la marca del 2. Después de 31 pasos la marca del 2,5 habrá quedado atrás. Cuando hayamos recorrido 63 pasos la marca con el 3 quedará superada. Así sucesivamente iremos superando todas las marcas. Cada vez nos costará más trabajo superar la marca siguiente (no olvidemos que estamos ante un paseo “cansado”), pero tarde o temprano esa marca quedará atrás.
 
  Así pues, la próxima vez que vayan a iniciar un paseo reflexionen sobre la amplitud de la zancada. Aunque ésta vaya disminuyendo a cada paso, puede ocurrir que siempre estén cerca de casa, o bien que no regresen jamás.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

que buena idea me has dado, ahora ya puedo llegar a casa a la hora que me de la gana y todo sera culpa del cansancio y las matematicas jeje

fdo: uno que esta en irlanda

César L. Alonso dijo...

Pues sí, No es mala idea eso de usar la Matemática como excusa. Seguramente No te la pongan en duda ;)
Un saludo