Una vez que han quedado claros los principios de la suma y el producto, vamos a dar un paso más hacia nuestro objetivo de obtener un razonable conocimiento del tema de la Combinatoria. Recordad que esto no es más que contar de manera ordenada y que lo fundamental es saber cuándo y dónde colocar las multiplicaciones y las sumas.
Imaginad que se va a celebrar una carrera en la que se han apuntado diez atletas, con dorsales del uno al diez. Es decir: Atletas = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Nos gustaría saber de cuántas formas posibles puede estar formado el pódium final para la entrega de medallas. No sólo se trata de elegir entre los diez atletas aquellos tres que configurarán el pódium, sino que también es importante el orden de elección; pues como comprenderéis no es lo mismo quedar primero que quedar segundo o tercero. Vamos a intentar contar las diferentes configuraciones de las medallas. Suponed que en un acto de corrupción sin precedentes nos erigimos en dueños del destino de nuestros deportistas y somos capaces de determinar “a dedo” los tres primeros puestos de la carrera. ¿Cuántas formas distintas tenemos de hacerlo? Veamos:
Para elegir al ganador tenemos diez posibilidades. Sin embargo, una vez elegido el ganador, la elección del segundo tiene una posibilidad menos; es decir, nueve. Finalmente, la elección del tercero sólo cuenta con ocho posibilidades. Es evidente que no puede haber diez opciones para cada puesto ya que no es factible que un mismo atleta sea primero, segundo y tercero simultáneamente. Por otro lado, aplicando el principio del producto o “atuendo” (como lo hemos llamado en la lección anterior), cada una de las diez posibilidades de elección del ganador se puede “combinar” con todas las posibles elecciones del segundo; y cada una de estas combinaciones se puede combinar con todas las posibilidades para el tercero. En total tenemos como opciones totales para las medallas, 10 x 9 x 8 =720. ¿Son muchas eh?. Quizá alguno de vosotros pueda pensar que el hecho de elegir primero el que se llevará el oro, luego el que recibirá la plata y finalmente el que obtendrá el bronce hace que las cuentas no estén bien realizadas. Si eso es lo que sospecháis podríamos hacerlo de la siguiente forma: Suponed que sobre la mesa hay tres cajas cerradas. Una tiene la medalla de oro, otra tiene la de plata y la última la de bronce. No hay forma de saber qué medalla hay en cada una de las cajas. Entonces se elije un atleta que se llevará la medalla de la primera caja (10 posibilidades); luego otro que se llevará la de la segunda caja (9 posibilidades) y a continuación el tercero para la última de las cajas (8 posibilidades). Ahí tenéis de nuevo 10 x 9 x 8 = 720.
Este tipo de situaciones también se dan en casos como éstos: formar una bandera bicolor con los siete colores del arco iris tiene 7 x 6 = 42 posibilidades. Otorgar 4 juguetes diferentes entre 8 niños se puede hacer de 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 formas. Observad que la característica común de los casos descritos es la necesidad de elegir una cantidad m de elementos, de entre un conjunto total de n; considerando también el orden de disposición de los m elementos elegidos. En el caso de los atletas m = 3, n = 10. Para la bandera m = 2, n = 7 y para los juguetes m = 4, n = 8. Obviamente el número m ha de ser como mucho igual al número n. Volviendo al ejemplo inicial, ahora debería ser fácil entender que si queremos dar todas las clasificaciones completas posibles tras la finalización de la carrera tendríamos que hacer el cálculo siguiente: 10 x 9 x 8 x … x 2 x 1. Esto es multiplicar todos los números enteros desde el 1 hasta el 10. Esta operación se conoce como el factorial de 10 y se representa como 10! Es posible que el signo de admiración sea debido a que el resultado de la operación es más grande de lo que en un principio podría parecer. 10! = 3628800.
En consecuencia y para terminar esta segunda lección. Si tenemos una colección de n elementos distintos y queremos escoger m de ellos para una cuestión en la que además interviene el orden entre los escogidos, estamos ante lo que se denominan “permutaciones de n elementos tomados de m en m”. Dicho número está representado como P(n,m). La fórmula del cálculo ya vista para los ejemplos considerados tiene la siguiente expresión general:
P(n,m) = n x (n-1) x (n-2) x … x (n-m+1)
Observad que se verifica para todos los casos descritos. Además podéis comprobar que en el caso en el que tengamos que escogerlos todos; es decir n = m, la fórmula es:
P(n,n) = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 = n!
A ver si lo habéis entendido. Volvamos de nuevo al ejemplo de los atletas. ¿Podríais decirme cuantas posibles asignaciones de medallas hay para cada terna de atletas que configuren un pódium?
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