No sé si será porque soy matemático, pero en algunas de las largas sobremesas que suceden a una copiosa comida familiar de esas que se producen periódicamente, ya sea por Navidad, Año Nuevo o en eventos sacramentales como bautizos, comuniones y bodas, terminan formulándose preguntas como las siguientes: ¿Es igual de difícil acertar todo en la quiniela que no acertar nada?, ¿Cuántos boletos sencillos hay que rellenar para asegurarse de que tenemos seis aciertos en la primitiva? ¿Qué es más difícil de conseguir en el sorteo de los Euromillones: dos aciertos en números y uno en estrellas o viceversa? Todas estas cuestiones se resuelven mediante la rama de las matemáticas denominada Combinatoria. Podríamos decir que la Combinatoria proporciona técnicas para poder contar de manera organizada en situaciones especiales. Saber cuántas personas hay en un determinado espacio es bastante sencillo, siempre y cuando todos se estén quietecitos y no demasiado desperdigados. Ahora bien, determinar cuántos grupos de tres personas distintas podemos formar con un centenar, ya resulta bastante más complejo ¿verdad? Durante varias entradas del blog trataré de explicar de manera sencilla y medianamente inteligible las principales técnicas y fórmulas que responden a algunas de las preguntas del tipo enunciado anteriormente.
En primer lugar veremos que lo fundamental en todo esto es saber sumar y multiplicar. A partir de ahí se deduce todo lo demás. Comenzaremos con los denominados “principio de la suma” y “principio del producto”. No tengáis ningún miedo pues esto es muy sencillo. Veamos un par de ilustrativos ejemplos: Considerad las zapatillas que tenéis en casa, los zapatos que poseéis, las botas de las que disponéis, los playeros que hay en vuestro domicilio,.. y decidme: ¿De cuántas formas distintas podéis calzaros? De momento no vamos a permitir poner en un pie un tipo de calzado y en el otro pie otro tipo. Vamos a calzarnos de manera racional. La respuesta a esta pregunta es, en efecto, muy fácil. Como seguramente todos vosotros habréis deducido, el número de opciones es el resultado de sumar los pares de zapatillas, zapatos, botas, playeros y demás prendas del pie de las que dispongáis. Vayamos ahora con otra situación un tanto diferente aunque también dentro del tema de las prendas de vestir. Sacad de vuestro armario todas las camisetas y pantalones. Ahora respondedme a esta pregunta. ¿De cuantas formas “decorosas” podéis vestiros para salir a la calle? En este caso parece claro que la respuesta será el producto del número de camisetas y el número de pantalones, ya que cada una de las partes superiores puede emparejarse con todas y cada una de las partes inferiores. El primero de los ejemplos corresponde al denominado principio de la suma, mientras que el segundo se refiere al principio del producto. Es fundamental en Combinatoria detectar en qué situación nos encontramos: Si estamos en un caso del tipo “calzado” o bien del tipo “atuendo camiseta-pantalón”. Además estos dos principios se pueden combinar en situaciones donde el fondo de armario es extenso. Si sacamos todas nuestras camisetas, camisas, vestidos de una pieza, pantalones y faldas ¿cuántos modelos diferentes podemos conformar? Ahora para dar con la respuesta correcta hay que combinar ambos principios y se debe realizar el producto del número total de partes superiores (camisetas más camisas) y el número de partes inferiores (pantalones más faldas) y a continuación añadirle a ese resultado el número de vestidos de una pieza.
En consecuencia y para finalizar esta primer lección del mini curso, no olvidéis las características propias de estas dos ilustrativas situaciones: “calzado” y “atuendo”. Para contar en la primera lo fundamental es sumar mientras que para la segunda la multiplicación es obligada.
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