martes, 28 de febrero de 2012

Curso de Combinatoria III: Permutaciones con repetición

Suponed que pretendemos hacer un sorteo de esos que se realizaban antes en los descansos de los espectáculos circenses. Vendemos entre el público las consabidas tiras de papel con diferentes cifras y una vez agotadas, nos disponemos a celebrar el sorteo. Contamos para ello con tres ruedas que haremos girar independientemente. En cada rueda se encuentran dibujados los números del 0 al 9. Nos asalta la duda de si en los boletos vendidos existirán más cifras que la cantidad de posibles números ganadores. ¿Cuántos posibles resultados podemos obtener? Esto parece muy fácil: Teniendo en cuenta que cada rueda tiene 10 posibilidades y que tenemos tres ruedas independientes, la cantidad buscada es 10 x 10 x 10 = 1000. Fijaos en la diferencia de esta situación con la de la anterior lección cuando nos referíamos a los atletas y las medallas. Ahora también tenemos que elegir tres elementos, (uno de cada una de las ruedas) y también es importante el orden de salida, ya que no es lo mismo el orden 1, 2, 3 (formando el 123) que la ordenación 2, 3, 1 (formando el 231). Pero sin embargo en esta tesitura se pueden repetir los elementos. Trasladándolo a la prueba de atletismo sería como si un mismo atleta pudiese llevarse el oro, la plata y el bronce. Se entenderá entonces perfectamente el porqué de la denominación de “permutaciones con repetición”. El término permutaciones es porque hay que tener en cuenta el orden de aparición y el término repetición es debido a que podemos repetir varias veces el mismo elemento.

            Obsérvese también que a diferencia de lo que ocurría en las permutaciones “a secas”, en las que obviamente el número de objetos a escoger no podía exceder del número total de ellos, al existir ahora la posibilidad de repetir elección, sí que podría darse el caso de tener que elegir una cantidad de elementos mayor que el número de los que hay en el catálogo. Por ejemplo, podemos formar números de 20 cifras con los dígitos del 0 al 9 ¿verdad? Es claro que esos números tendrán con toda seguridad dígitos repetidos. Ahora bien, ¿cuántos números de esos podremos formar? Deberías ver muy claro que la cantidad es 10 multiplicado por si mismo unas 20 veces, o dicho de otro modo, “10 elevado a la potencia 20.” Vamos, ¡un montonazo!

            En cuanto a la fórmula general, si tenemos una colección de n elementos y queremos elegir m de ellos, influyendo el orden y pudiendo elegirlos repetidos, estamos ante lo que se denominan Permutaciones con repetición de n elementos, tomados de m en m. su fórmula general es:

PR (n,m) = nm

            Vayamos ahora con un ejemplo más cotidiano y calculemos cuántas quinielas sencillas hay que cubrir para tener la seguridad de obtener los 15 aciertos. Tenemos 15 casillas y en cada una de ellas podemos poner un 1, una x ó un 2. En total hay tres opciones por casilla. Así pues una apuesta no es más que una permutación con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15. En consecuencia PR(3,15) = 315, son el número de apuestas sencillas entre las cuales se encuentra el único boleto con la combinación correcta. Esto me hace recordar una vieja discusión que tuve cierto día con mi madre. Ella argumentaba que en una quiniela era igual de difícil acertar todas las casillas que no acertar ni una sola. Después de las anteriores reflexiones estamos en condiciones de demostrar que eso no es así. Resulta evidente que la serie correcta en una quiniela es única. Sin embargo, ¿cuántas opciones diferentes tenemos de no acertar ni una? Veamos: En cada casilla hay una opción correcta y dos erróneas, luego se trata de escoger en cada caso una de esas dos opciones incorrectas. Como lo más probable es que no se dé el caso de que las opciones incorrectas en cada uno de los partidos siempre sean las mismas; es decir, siempre x, 2 ó 1, x o cualquier otro par, lo mejor será que las denominemos como: 1ª opción incorrecta y 2ª opción incorrecta. Estamos de nuevo ante permutaciones con repetición de 2 elementos (las opciones erróneas) tomados de 15 en 15. Así pues hay 215 formas de cubrir una quiniela asegurando que no damos una en el clavo; mientras que sólo tenemos una posibilidad de acertarlo todo. Sorprendente ¿verdad? O quizá no tanto…

No hay comentarios: