Axiomas, Teoremas y juegos de Lego

Al poco de comenzar mis estudios de la licenciatura de Matemáticas y en una de las  habituales tertulias de café en una habitación del Colegio Mayor, un amigo que estudiaba Ingeniería de Caminos me preguntó cuál era la labor fundamental de un matemático. Yo le contesté que los matemáticos demostraban Teoremas. Y mientras le respondía, soñaba con demostrar mi propio Teorema. En aquella época yo pensaba que todo Teorema, una vez demostrado, supondría un avance crucial para la humanidad. Estaba convencido de que  todos los Teoremas estaban en algún lugar, esperando que alguien los demostrase y en ese momento un estruendo de conocimiento viajaría a gran velocidad por todo el planeta. Yo, en mi inocencia, pensaba sólo en los Teoremas con mayúscula. Años más tarde, bastante antes de demostrar mi primer teorema, comprendí que la mayor parte de ellos tienen una utilidad muy local y un ámbito muy pequeño que generalmente no trasciende más allá del grupo de matemáticos que estén investigando en el tema en cuestión. Sólo algunas veces se enuncian y demuestran Teoremas de auténtico renombre y que son verdaderos iconos en una determinada Teoría. Además, la mayor parte de las veces los teoremas son demostrados por los mismos investigadores que los enuncian. Incluso es muy posible que la demostración preceda al enunciado. La razón es que los teoremas no son más que pequeñas figuras construidas dentro de una Teoría o un tema central de investigación científica y su demostración significa un paso más hacia un objetivo más ambicioso o una consecuencia un tanto marginal dentro de dicha teoría. ¡Enunciar y demostrar teoremas es como el juego del Lego!. Voy a explicárselo:

  Cuando se compra un juego de Lego, en la caja lo que se encuentran son una serie de piezas de distintas formas y tamaños. Estas piezas son indivisibles y están ahí porque sí. Bueno, digamos que nos son dadas. Además, en algunos casos también hay algunas pequeñas herramientas que no son piezas pero que ayudan a combinar esas piezas básicas. Piensen en una pequeña llave para tuercas o un pequeño destornillador. Pues bien, en matemáticas esas piezas básicas constituyen los axiomas. No hay que demostrarlos, están ahí por definición. Vienen en el lote al comprar el juego. Posteriormente, a partir de esas piezas se van construyendo piezas más grandes, habitualmente con la ayuda de las herramientas para tal efecto. De nuevo combinando estas piezas más grandes construidas a partir de las piezas básicas, se van dando forma a figuras que tienen una entidad propia. Estas figuras son los teoremas. Podríamos decir que la propia forma de la figura constituye el enunciado y la labor de construcción de la misma, paso a paso, usando los axiomas, combinándolos adecuadamente y de acuerdo a las reglas de combinación determinadas por las herramientas, son la verdadera demostración del teorema. Posteriormente estas figuras, en el mejor de los casos y siempre que sean atractivas, podrían integrarse y ser de utilidad dentro una entidad más grande constituida por multitud de figuras. Estas entidades son las teorías. Imaginen ustedes que tienen ante sí un conjunto de axiomas del juego de Lego, que proceden a combinar adecuadamente para construir un pequeño edificio con forma de gasolinera. Acaban ustedes de enunciar y demostrar un auténtico teorema, que integrado en la teoría "Ciudad" tiene una importante función en el sostenimiento de la misma. Otros avanzados jugadores conseguirán demostrar teoremas de gran importancia para la teoría "Ciudad". Por ejemplo el teorema "Ayuntamiento" o teoremas "Hoteles" o incluso teoremas tipo "Autobuses". Algunos teoremas no tedrán gran trascendencia o aplicabilidad dentro de la teoría. Constituirán simples casas de vivienda que posiblemente sean relleno, pero que juntas darán forma a la Ciudad. Y ésta irá creciendo sin parar con teoremas de nueva creación y nuevas funcionalidades. Y así, los matemáticos vamos contribuyendo en mayor o menor medida al desarrollo de diferentes teorías, de la misma forma que los niños mediante el juego de Lego o uno de los antiguos mecanos construyen figuras, a veces que sólo ellos entienden, y las incorporan a sus juegos e historias fruto de su imaginación. Bajo esta perspectiva ¿Quién dice que las matemáticas no son divertidas?