Notación matemática: ¿Enmascara lo fácil o clarifica lo difícil?

Frecuentemente, al enunciar o presentar alguna propiedad en términos de notación matemática, mis alumnos ponen cara de no entender lo que quiero decirles. Cuando, tras no pocos esfuerzos, logro hacer que lo entiendan, en alguna ocasión me han comentado que la clave de su falta de entendimiento es la propia notación científica.

   Recientemente, uno de los trabajos de investigación de los que soy coautor fue criticado por un revisor, que debía decidir sobre lo apropiado del trabajo para su presentación en un congreso, argumentando que mediante la notación matemática empleada estábamos enmascarando conceptos y propiedades sencillas. Esta situación me preocupó mucho, ya que el hecho de que un colega, que se supone preparado para entender la notación científica, argumente cosas de ese estilo denotando su falta de dominio de la misma, es mucho más grave. Tras reflexionar sobre este par de sucesos he llegado a la conclusión de que en muchas ocasiones no se le da a la notación matemática la importancia que ésta merece. Cuando se expresa algo en lenguaje o notación matemática, el objetivo es que todas las personas que lean esas expresiones se formen exáctamente la misma idea; que dicha idea no posea ningún punto de ambigüedad y que coincida con la que se pretendío expresar por parte del autor. Está claro que con el lenguaje natural mediante el que nos expresamos cotidianamente no se puede conseguir ese objetivo sin construir grandes  y a veces tediosos párrafos explicativos. La notación matemática es exacta, expresa cosas de manera concisa  y es absolutamente universal. Sin embargo, cuando no se domina resulta casi ininteligible, como le pasa a cualquiera de los lenguajes: Si yo no se japonés, da igual que me expliquen en japonés la cosa más sencilla, que no la voy a entender. Esa falta de dominio es la causante de que cuando se expresa mediante notación matemática alguna idea ya conocida por la audiencia, pueda parecerle a alguno que se están explicando cosas sencillas mediante un lenguaje enrevesado. Nada más lejos de la realidad, ya que la notación matemática siempre resulta clarificadora. Déjenme que intente demostrárselo.

  Tomemos como ejemplo una propiedad que todos conocen, relacionada con elevar un número al cuadrado, es decir, multiplicarlo por sí mismo. Imaginen que les digo que si elevamos al cuadrado el número 2 el resultado es 4 (que es un número positivo). Si elevamos al cuadrado el 3, el resultado es 9 (también positivo). De hecho si elevamos al cuadrado cualquier número mayor que cero el resultado siempre es un número positivo. Además dicho cuadrado siempre existe. Así pues podemos decir que todo número mayor que cero posee la propiedad de que al elevarlo al cuadrado el resultado es un número positivo. ¿y qué  pasa con los números negativos? Pues lo que pasa es que la operación de elevarlos al cuadrado tambíen da como resultado un número positivo. Y además, de propina podemos decir que ese número positivo, resultado de elevar al cuadrado un número negativo, es el mismo número que nos salía al elevar al cuadrado el correspondiente número positivo. Llegados a este punto seguramente es conveniente poner un ejemplo clarificador: Lo que se quiere decir es que si elevamos al cuadrado por ejemplo el 4, el resultado es 16. Y al elevar al cuadrado el -4, el resultado es también 16. Si han conseguido leer hasta aquí sin perderse, seguramente habrán logrado entender lo que se ha querido expresar. Es posible que el hecho de que esta propiedad ya la conociesen les haya supuesto una gran ventaja a la hora de entenderla. Pero ¿se imaginan a alguien que no conozca la mencionada propiedad leyendo este párrafo?. ¿Ustedes creen que entendería lo que se ha querido expresar sin ningún género ni atisbo de duda?. Es posible que sí. En cualquier caso si se domina la notación matemática esta propiedad puede expresarse de manera maravillosamente escueta e inequívoca de la siguiente forma:

Para todo X>0   Existe  Y>0  tal que X²=(-X)²=Y

Ahora quédense con la que les parezca más sencilla. Para mí la elección no ofrece dudas.